决策单调性优化

决策单调性定义

对于 \(dp_i\)，若 \(dp_i\) 由 \(dp_j\) 转移最优，则 \(j\) 即为 \(dp_i\) 的最优决策点。

在状态转移方程 \(dp_i=min\{dp_j+w(j,i)\}^*\)，\(j\in[0,i)\) 中，设 \(p_i\) 为 \(dp_i\) 的最优决策点，若 \(p\) 在 \([1,n]\) 上单调不减，则称 \(dp\) 具有决策单调性

\(*\)：\(w(a,b)\) 是定义在整数集合上的二元函数，下同。

四边形不等式

定义

若函数 \(w(x,y)\) 满足对于 \(\forall a,b,c,d\in\mathbb Z\)，\(a\le b\le c\le d\)，都有 \(w(a,d)+w(b,c)\ge w(a,c)+w(b,d)\)，则称函数 \(w(x,y)\) 满足四边形不等式。

推论

若函数 \(w(x,y)\) 满足对于 \(\forall a,b\in\mathbb Z\)，\(a\le b\)，都有 \(w(a+1,b)+w(a,b+1)\ge w(a,b)+w(a+1,b+1)\)，则称函数 \(w(x,y)\) 满足四边形不等式。

证明

对于 \(a<c\)，有 \(w(a,c+1)+w(a+1,c)\ge w(a,c)+w(a+1,c+1)\)；

对于 \(a+1<c\)，有 \(w(a+1,c+1)+w(a+2,c)\ge w(a+1,c)+w(a+2,c+1)\)；

两式相加，整理得 \(w(a,c+1)+w(a+2,c)\ge w(a,c)+w(a+2,c+1)\)；

以此类推，对于任意的 \(a\le b\le c\)，有 \(w(a,c+1)+w(b,c)\ge w(a,c)+w(b,c+1)\)；

同理，对任意的\(a\le b\le c\le d\)，有 \(w(a,d)+w(b,c)\ge w(a,c)+w(b,d)\)。

决策单调性与四边形不等式

定理

在状态转移方程 \(dp_i=min\{dp_j+w(j,i)\}\)，\(j\in[0,i)\) 中，若函数 \(w\) 满足四边形不等式，则 \(dp\) 具有决策单调性。

证明

定义 \(p_i\) 表示 \(i\) 的最优决策点。

\(\forall i\in[1,n],\forall j\in[0,p_i−1]\)，根据 \(p_i\) 为 \(i\) 的最优决策点，则有

\(\forall i'\in[i+1,n]\)，因为 \(w\) 满足四边形不等式，则有

移项，可得

与第一个不等式相加，可得

即 \(i′\) 的最优决策点一定大于等于 \(p_i\)。故 \(dp\) 具有决策单调性。

决策单调性优化

单调队列

当求出一个新的 \(dp_i\) 时，考虑 \(i\) 可以作为哪些 \(dp_i'\)（\(i′>i\)）的最优决策点。根据决策单调性，一定可以找到一个位置，在该位置之前，\(p\) 内存储的决策都比 \(i\) 要优，其后都比 \(i\) 差。于是便可以将该位置及其后面的部分全部变为 \(i\)，即此时它们的最优决策均为 \(i\)。

我们可以新建一个队列 \(q\)，\(q\) 中每个元素是一个三元组 \(j,l,r\)，表示 \(\forall k\)（\(l\le k\le r\)），都有 \(p_k=j\)。

对于每个 \(i\in[1,n]\)，执行以下操作

1. 检查队首：若队首为 \((j_{head},l_{head},r_{head})\)，若 \(r_0<i\) 则删除队首。

2. 根据队首的最优决策点 \(j\) 求出 \(dp_i\)

3. 加入决策 \(i\)：

   1. 取出队尾：\((j_{tail},l_{tail},r_{tail})\)
   2. 若对于 \(dp_{l_{tail}}\)，\(i\) 是比 \(j_{tail}\) 更优的决策，即 \(dp_i+w(i,l_t)\le f_{j_{tail}}+w(j_t,l_t)\)，记 \(pos=l_t\)，删除队尾，返回步骤 1。
   3. 若对于 \(dp_{r_{tail}}\)，\(i\) 是比 \(j_{tail}\) 更优的决策，即 \(f_{j_{tail}}+w(j_{tail},r_{tail})\le dp[i]+w(i,r_{tail})\)，去往步骤 5。
   4. 否则，在 \([l_{tail},r_{tail}]\) 二分查找出位置 \(pos\)，使得在 \(pos\) 之前的决策都比 \(i\) 优，在 \(pos\) 之后的决策都 \(i\) 更优，将 \([l_{tail},r_{tail}]\) 修改为 \([l_{tail},pos−1]\)。
   5. 把三元组 \((i,pos,n)\) 插入队尾。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

分治

假设区间 \([l,r]\) 的最优决策点在区间 \([L,R]\)，定义 \(mid=\frac{l+r}{2}\)，设 \(dp_{mid}\) 的最优决策点是 \(pos\)，由决策单调性可知区间 \([l,mid]\) 的最优决策点在区间 \(l,pos\)，区间 \([mid+1,r]\) 的最优决策点在 \([pos,R]\)。

问题分成了子问题，即可分治。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

P3515 [POI 2011] Lightning Conductor

题意：

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，对于每个 \(i\in[1,n]\)，求出一个最小的非负整数 \(p\)，使得 \(\forall j\in[1,n]\)，都有 \(a_j\le a_i+p−\sqrt{∣i−j∣}\)。

由题意得：

所以：

我们可以做两次 \(dp\)，第二次反转序列，可以消除一层绝对值，即 \(p=\lceil\max\limits_{1\le j\le n}\{a_j+\sqrt{i-j}\}\rceil\)。

设 \(dp_i\) 表示 \(\lceil\max\limits_{1\le j\le n}\{a_j+\sqrt{i-j}\}\rceil\)，\(w(j,i)\) 即为 \(\sqrt{i-j}\)，接下来证明 \(w(j,i)\) 满足四边形不等式。

定义 \(a+1<c\)，则：

因为 \(f(x)=\sqrt x-\sqrt{x-1}\) 单调递减，所以上式取值小于 \(0\)，所以 \(w(j,i)\) 满足四边形不等式，\(dp\) 具有决策单调性。

代码

单调队列

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 5e5 + 5;
int n, a[N], head, tail;
double dp[N], sq[N];
struct node{
	int p, l, r;
}q[N];
double w(int j, int i){
	return (double)a[j] + sq[i - j];
}
int search(int p, int i){
	int l = q[p].l, r = q[p].r, ans = q[p].r + 1;
	int mid;
	while (l <= r){
		mid = l + r >> 1;
		if (w(i, mid) >= w(q[p].p, mid)){
			ans = mid, r = mid - 1;
		} else {
			l = mid + 1;
		}
	}
	return ans;
}
void insert(int i){
	q[tail].l = max(q[tail].l, i);
	while (head <= tail && w(i, q[tail].l) >= w(q[tail].p, q[tail].l))--tail;
	if (head > tail){
		q[++tail] = {i, i, n};
	} else {
		int pos = search(tail, i);
		if (pos > n)return;
		q[tail].r = pos - 1;
		q[++tail] = {i, pos, n};
	}
}
void solve(){
	head = 1, tail = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i){
		insert(i);
		if (head <= tail && q[head].r < i)++head;
		else q[head].l = i;
		dp[i] = max(dp[i], w(q[head].p, i));
	}
}
signed main(){
	cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; ++i){
		cin >> a[i];
		sq[i] = sqrt(i);
	}
	solve();
	for (int i = 1; i <= (n >> 1); ++i){
		swap(a[i], a[n - i + 1]), swap(dp[i], dp[n - i + 1]);
	}
	solve();
	for (int i = n; i >= 1; --i){
		cout << (int)ceil(dp[i]) - a[i] << "\n";
	}
	return 0;
}

分治

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 5e5 + 5;
int n, a[N];
double dp[N], sq[N];
double w(int j, int i){
	return (double)a[j] + sq[i - j];
}
void solve(int l, int r, int L, int R){
	if (l > r)return;
	int mid = l + r >> 1, pos;
	double maxn = -1;
	for (int i = L; i <= min(mid, R); ++i){
		if (w(i, mid) > maxn)maxn = w(i, mid), pos = i;
	}
	dp[mid] = max(dp[mid], maxn);
	solve(l, mid - 1, L, pos);
	solve(mid + 1, r, pos, R);
}
signed main(){
	cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; ++i){
		cin >> a[i];
		sq[i] = sqrt(i);
	}
	solve(1, n, 1, n);
	for (int i = 1; i <= (n >> 1); ++i){
		swap(a[i], a[n - i + 1]);
		swap(dp[i], dp[n - i + 1]);
	}
	solve(1, n, 1, n);
	for (int i = n; i >= 1; --i){
		cout << (int)ceil(dp[i]) - a[i] << "\n";
	}
	return 0;
}

参考

决策单调性优化 DP 学习笔记