随笔分类 -  线性代数

摘要：表示定理回答这样一个问题，线性空间中的点是否存在某种统一的，唯一的表示？如果存在，它可以表示成什么样子？由于线性空间有很多不同种类，如Hilbert Space， RKHS等，因此不同的线性空间又有不同的表示定理。1）有限维线性空间有限维线性空间中的点如何表示？比这个问题更基本的是，有限维线性空间如何表示？按定义，有限维线性空间是这样一个集合，这个集合对加法和数乘运算封闭。只可惜这个列举法的定义在实践中太难使用了，我们不可能去挨个检测线性空间每个点的性质，太麻烦了！一个天才的idea是从这个集合中选取有限多个最重要的对象来表示这个空间。如果能够办到，则我们就用这n个最重要的对象来刻画整个线性空 阅读全文

摘要：所有的有限维空间之间的线性变换都可以表示成矩阵乘法，for a fixed bases。换言之，每个给定了基的线性空间变换总与唯一一个矩阵相对应。设T：V->W 是从ｎ维线性空间Ｖ到m维空间Ｗ的线性映射。要把Ｔ表示成矩阵乘法，就是for $v \in T $, $T(v) = Av \in W$.由表示定理，我们知道Ｖ中任意一个对象ｖ都可表示为Ｖ的基{v1,v2,...Vn}的线性组合，$v= a_1v_1 +a_2v_2+...+a_nv_n$, so,$T(v) = a_1 T(v_1) +a_2 T(v_2)+...+a_n T(v_n)$由于我们知道$T(v_i) $一定是Ｗ中的 阅读全文