SDOI2012 longge的问题

题目描述 Description

Longge 的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：
定一个整数 N ，你需要求出 Σ gcd(i, N)(1<=i<=N) 。

输入描述 Input Description

的第一行包含一个整数 N ，如题所示

输出描述 Output Description

第一行包含一个整数，为所求的答案。

样例输入 Sample Input

6

样例输出 Sample Output

15

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于 60% 的数据， 0<N<=2^16 。
对于 100% 的数据， 0<N<=2^32 。

 

我们设GCD(i，n）=k的i的个数为A(K)个，这样答案就等于 K1*(A(K1)) + K2 * (A(K2)) +...+ KP*(A(KP))，其中，K1 K2 ...KP分别为n的约数。

1-n的范围内可以被k整除的数一共有 n/k 个，在这n/k个数字中，有的数字GCD（i，n）=k，而有些GCD（i，n） = ck（c>1，c∈R）。那么我们需要找出那些数字    GCD（i，n）=k。

首先，数字k一定满足GCD（k,n）=k，如果想让k乘以一个数后依旧能满足GCD（k，n）=k的话，那么他所乘的这个数必须小于并互质与n/k的，小于很好理解。我需要解释的就是为什么需要互质，取出一个n/k的因数（不包括1),得到数字pk，n必然可以整除pk，这样GCD（pk，n）也就等于 k*p了。

求小于并互质的数，我们可以用欧拉函数。

所以，我们只需要找出n所有的因数就可以了。

 

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath> 
#include<cstring>
using namespace std;

vector<long long> ys;

long long n, ans;


long long phi(long long n) {      //欧拉函数
    if (n == 1) return 1;
    long long k = n;
    for (int i = 2; i*i <= n; i++)
        if (n % i == 0) 
        {
            k /= i;
            while (n % i == 0) n /= i; 
            k *= i-1;
        }
    if (n > 1) {
        k /= n;
        k *= (n - 1);
    }
    return k;
}

int main() {
    cin >> n;
    int nn = floor(sqrt(n));  //上界
    for (int i = 1; i <= nn; i++)   //找因数
        if (n % i == 0)
            if (i*i == n) ys.push_back(i);
            else {
                ys.push_back(i);
                ys.push_back(n/i);
            }
    for (int i = 0; i < ys.size(); i++) {
        ans += ys[i] * phi(n / ys[i]);
    }
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}