针对RMQ问题的ST算法

　　RMQ问题，即求区间最大最小值的问题：对于长度为N的数列，询问若干次RMQ（A,I,J）（I<=J<=N)，求[I,J]的最大（小）值。

　　我们可以采取朴素的直接搜的算法，如果数据非常大的话，直接搜就会爆时间爆的很惨。然后我们可以采取二分法来建一棵可爱的线段树，通过线段树来求。但是线段树的建立和查询都是O（nlogn）的时间， 那有没有更好的办法呢？

　　于是便诞生了一种神奇的叫做ST算法的东西，他的建立也是O(nlogn）的时间复杂度，但是查询只需要O（1），可是为什么我们没有用它来彻底替代线段树呢，因为他很麻烦么？当然不麻烦，他甚至还要比线段树简单。可是他有一个致命的缺陷，修改十分费劲。我们如果不需要修改数据，只需要不断返回最值，那么这个办法无疑要比线段树优越很多。

　　首先这个算法用了动态规划的办法，在谈论他的办法之前，我们先来想一个朴素的动归。f[I,J]=MAX(F[I,K],F[K+1，J]），这个很朴素，也很好理解。他就是把这个区间分成两段，求出每一段的最值来就好了，至于K值，等于i就可以。我们只要把F[I,J]=I初始化，然后循环求就好了。他的建立时间复杂度是O(N^2），查询只需要O（1），空间复杂度也是O(N^2），这个复杂度就有些致命了，20000的数据都有可能会卡掉的。

　　所以我们可以找一个办法优化这个算法。我们先来看一下这个dP方程，我们可不可以把他修改一下，改成F[I,J]=MAX(F[I,K],F[I+k+1,J-k-2])。我需要先解释一下这个方程，这里F[I,J]表示的不再是[I,J]的最值，而是[I,I+J-1]的最值，然后把这个区间分成两部分一部分是[I,I+K]，另一部分是[I+K+1，I+J-1]，至于这个K，初始化后，等于0就可以。

　　我们来考虑一下，有一个很不起眼的变量，他叫做K，我之前说过K等于XX就可以，其实如果k不等于XX，我们依旧可以通过一些处理让这个算法可行，那么我们不妨找些别的k，说不定会有奇效。

　　我们的目的是得到一个比线段树简单的算法，那么我们需要O（nlongn)的复杂度，那我们需要用到二分。我们可以把K转化为一个和2有关系的数字，2^i。这样一来我们就得到了这样一个方程。F[i,j]=max（F[i，j-1],F[i+2^(j-i)，j-1]）。然后我们再求[I,J]的区间最值，就只需要求[X,X+2^I-1]和[Y-2^i+1,Y],分别对应F[X,I]和F[Y-2^I+1，I]。可能你会疑惑，这样如何保证两边的区间把[X,Y]刚好都包括进来了呢，其实我们保证两个区间能把[X,Y]包括进来，而且不包括其他数字就可以，没必要保证刚好。