清华集训 2014

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• 玛里苟斯
• 主旋律
• 奇数国
• 卡常数
• 矩阵变换
• 虫逢
• 玄学

https://www.cnblogs.com/mangoyang/p/11650708.html。

玛里苟斯

菜。

\(k=1\) 时，考虑算每一位异或值为 \(1\) 的贡献，发现其为 \(2^{n-1}\)。证明考虑如果这一位有数，那么选择奇数个和选择偶数个的次数是相等的。所以只需输出所有数的按位或的值除以 \(2\) 就行了。

\(k=2\) 时，把平方拆开，分类讨论选的情况就行了。

\(k\ge 3\) 时，因为答案 \(< 2^{63}\)，所以数列里的最大值 \(<2^{21}\)。然后我们可以证明一个集合的答案等于其线性基的答案。具体就是集合里一个数 \(x\) 异或集合里另一个数 \(y\) 之后答案不变。暴力枚举线性基里的选取情况求答案就行了。

https://yhx-12243.github.io/OI-transit/records/uoj36.html。

https://uoj.ac/submission/624225。

主旋律

好厉害。nb 容斥。

首先可以了解一下有向图 DAG 子图计数：https://www.cnblogs.com/Go7338395/p/14907440.html。

然后 https://www.cnblogs.com/NeosKnight/p/10876846.html 写的很好。我就不写了。

数数好难。

https://yhx-12243.github.io/OI-transit/records/lydsy3812%3Buoj37.html。

https://uoj.ac/submission/623900。

奇数国

shaber 题。

线段树维护区间乘积以及每个质数是否出现。直接做就行了吧。

https://uoj.ac/submission/624181。

卡常数

k-D Tree。

上下界剪枝就行。

出去散散心回来就过了。什么水平。

https://uoj.ac/submission/624899。

矩阵变换

稳定婚姻问题模板。参考：https://www.cnblogs.com/Lrefrain/p/12373898.html；https://yhx-12243.github.io/OI-transit/records/lydsy3816%3Buoj41.html。

之前完全没学过这东西，鉴定为菜。

显然这是一个行匹配数的过程。不妨设 \(pos_{i,j}\) 表示第 \(i\) 行数 \(j\) 的位置。

那么不合法的条件就是：

• 设 \(x\) 行匹配数 \(i\)，\(y\) 行匹配数 \(j\)，则 \(pos_{y,i}<pos_{y,j}\)、\(pos_{x,i}<pos_{y,i}\)。

所以可以知道，对于每行，数字越靠左越优；对于每列，它在这一行的位置越靠右越优。

可以用队列模拟匹配的过程。

https://uoj.ac/submission/624166。

虫逢

神秘随机。

https://www.cnblogs.com/windf/p/16771618.html。

https://uoj.ac/submission/624558。

玄学

强制在线上线段树转化成二进制分组。很厉害的思想。

建一棵线段树，下标为时间轴。对于每个线段树上的时间区间，维护每个连续段需要做的变换。显然这个变换是可以复合的。

由于 \(k\) 个操作最多将序列划分为 \(2k+1\) 个连续段，因此直接拿 vector 去存储是不会爆空间的。

pushup 就是类似归并排序的过程。注意只有一个区间的所有子区间全部填满了才需要 pushup，因为只有这种区间求答案才有可能用到。

求答案只需要找到对应的时间区间，然后找到 vector 里存储的第一个右端点 \(\ge\) 查询位置的变换并做这个变换。从左到右做是按照时间来的，因此没有问题。

https://uoj.ac/submission/624530。