南京训练记录

5.8

Codeforces Round 872 (Div.1) A、B1、B2

枚举；猜结论！！！

5.9

Codeforces Round 872 (Div.1) C

利用 DP 数组值的性质进行优化；启发式合并；继承重儿子信息（dsu on tree 的思想）。

LOJ511「LibreOJ NOI Round #1」验题

和字典序相关的东西考虑 fix 一段前缀。

某些东西增长速度很快时考虑只取很少数量，数量过大直接不考虑。

独立集数量考虑把已经确定的点和它的连边全部删掉，然后方案数就是连通块方案数乘积。

CF346E Doodle Jump

缩小问题规模！！！减少无用状态！！！

5.10

朱富海教授数学课

讲代数。感觉像科普……

三等分角。只有部分特殊角可以用尺规作图做到。
画正 \(n\) 边形。实际上就是画角度的 \(\cos\)。
形如 \(2^{2^n}+1\) 的素数叫费马素数。边数为费马素数的正多边形可以尺规作图。
\(a^{2k+1}+1\) 因式分解。
三、四次方程求根。\((p+q)^3=p^3+q^3+3pq(p+q)\)。设 \(x=p+1\)，那么这个式子等价于 \(x^3-3pqx-(p^3+q^3)=0\)。
向量旋转。https://zhuanlan.zhihu.com/p/98007510。
尺规作图核心：交点。直直 \(\to\) 四则运算。直圆 \(\to\) 开方。
研究数的域逐渐扩大：有理数 \(\to\) 无理数 \(\to\) 超越数和代数数。代数数：能表示为有理系数方程的根的数。

QOJ6322 The 1st Universal Cup. Stage 12: Ōokayama F. Forestry

套路题。但我还是不会。自闭。没有必要去 NOI 了。

第一步把求和转成期望最后再乘上总方案数，这就想不到。无语了。

设 \(dp_{u,x}\) 表示 \(u\) 的子树中，包含 \(u\) 的连通块的点权最小值为 \(x\) 的概率为多少。

转移合并子树。有 \(dp_{u,x}\times dp_{v,y}\to dp_{u,\min(x,y)}\)，即 \(dp_{u,x}=dp_{v,x}\times\sum\limits_{i=x}^{10^9}dp_{u,i}+dp_{u,x}\times\sum\limits_{i=x+1}^{10^9}dp_{v,i}\)。

可以线段树合并优化。具体来说就是区间维护概率和、期望和，以及区间内每个数要乘的概率 tag。

做完了！！！

5.11

发现大仙。参考题解。

https://www.cnblogs.com/znstz2018/p/17389780.html。

https://www.cnblogs.com/cwhfy/p/17391630.html。

QOJ5374 CTT2019 Day3T2 数圈

交换前缀和很牛逼。

类似 QOJ5096 2022-2023 集训队互测 Round 10 T2 千百的套路，断环成无限长的链，考虑每两类之间要多少次交换，实际上就是 \(\lfloor\frac{|s_i-s_j|}{s_n}\rfloor-\Delta\)，这个 \(\Delta\) 取决于原前缀和序列中两个位置的数是否形成顺序对。如果是就是 \(1\) 否则为 \(0\)。

然后就是二维偏序的事了。

CF341E Candies Game

找到三个非零数 \(a_x\le a_y\le a_z\) 出来，然后设 \(t=\lfloor\frac{a_y}{a_x}\rfloor\)，那么 \(a_y=ta_x+p\)。从低到高考虑 \(t\) 的每一个二进制位，为 \(1\) 就操作 \((x,y)\)，否则操作 \((x,z)\)，这样可以把 \(a_y\) 变成 \(p\)。可以证明这样做可以达到题目的要求。复杂度见洛谷 xzy 的题解。

Gym102412D The Jump from Height of Self-importance to Height of IQ Level

https://codeforces.com/gym/102412。

平衡树维护区间经典操作，直接上 fhq-treap。

考虑要维护什么信息：

区间大小、最大值、最小值。
区间内是否已经有满足条件的三元组。
区间内所有 \(i<j,a_i<a_j\) 的二元组中最小的 \(a_j\) 和最大的 \(a_i\)。

第三条的 pushup 见 znstz 的题解。我就不细说了。

5.12

2023.5.12 考试 T1 生成树（count）

给定正整数 \(N\) 和 \(M\)，考虑构造一张 \(N+2\) 个点 \(2N+1\) 条边的连通无向图如下：

图上的点从 \(0\) 到 \(N + 1\) 编号。

对于点 \(i\) 满足 \(0 \le i < N\)，点 \(i\) 和点 \((i + 1)\bmod N\) 之间有边。

对于点 \(i\) 满足 \(0 \le i < M\)，点 \(i\) 和点 \(N\) 之间有边；对于点 \(i\) 满足 \(M \le i < N\)，点 \(i\) 和点 \(N + 1\) 之间有边。

点 \(N\) 和 \(N + 1\) 之间有边。

需要求出这张图的生成树个数，对 \(10^9 + 7\) 取模。

数据范围：\(3\le N\le 10^9\)，\(1\le M\le N\)，\(1\le T\le 2000\)。

考虑 \(N\) 和 \(N+1\) 这条边是否存在于最终的生成树上。

若存在，则题目和 [FJOI2007] 轮状病毒等价。递推式 \(f_n=3f_{n-1}-f_{n-2}+2\)。
若不存在，则考虑 \(0\) 和 \(N-1\)、\(M-1\) 和 \(M\) 这两条边中有几条存在于最终的生成树上：
- 若有一条，则两边的方案是等价的，也就是两边都要是一棵树。这个可以递推解决：设 \(f_i\) 表示 \(i\) 个点的方案数，那么转移有 \(f_i=\sum\limits_{j=0}^{i-1}f_j\times(i-j)\)，可以多阶差分得到递推式。
- 若有两条，则一边是树，另一边一定由两部分组成：一条链和一棵树。可以用同样的方式算出答案。

很厉害的题目。

2023.5.12 考试 T2 最大流（flow）

原题：https://vjudge.net/problem/CodeChef-PUSHFLOW。

给定 \(N\) 个节点 \(M\) 条边的无向连通简单图，点从 \(1\) 到 \(N\) 编号，边从 \(1\) 到 \(M\) 编号。这张图中，任意一条边最多出现在一个简单环中。

每条边都有流量上限，其中第 \(i\) 条边的容量上限为 \(c_i\)。需要支持 \(Q\) 次以下操作：

给定两个点 \(u\) 和 \(v\)，询问这两点间的最大流。

给定一条边 \(e\) 和非负整数 \(d\)，将 \(c_e\) 修改为 \(d\)。

数据范围：\(1\le N\le 10^5\)，\(1\le M,Q\le 2\times10^5\)。保证给定的图是连通的，且任意一条边最多出现在一个简单环中。