微积分的本质

1 引子

从求圆的面积引入。微分求和思想。

熟悉函数间的交互关系。比如 \(x^2\) 与面积函数 \(A(x)\)。

面积的微小变化：\(dA\approx x^2dx\) 或者变形为 \(\frac{dA}{dx}\approx x^2\)。

推广：\(\frac{dA}{dx}\approx f(x)\ \mathrm{Gets\ better\ as\ } dx\rightarrow0\)。

导数：当 \(dx\to 0\) 时，\(A\) 的“导数”就是 \(\frac{dA}{dx}\)。

2 导数的悖论

“瞬时变化率”的说法不合理！

eg：汽车行驶，求速度。

\(\frac{ds}{dt}(t)=\frac{s(t+dt)-s(t)}{dt}\)。

导数：切线斜率。\(dt\) 不是无穷小，也不是 \(0\)。\(dt\) 永远都是一个有限小的量，非 \(0\)，只是非常接近于 \(0\) 罢了。

\(\star\) 把切线看成是求“某一点附近的变化率”的最佳近似（Best constant approximation around a point）。

悖论：零时刻时，车子在动吗？

原因：问题基于一个不存在的概念“瞬时变化”。而且导数根本就不是来测量“瞬时变化”的，而是指在第 \(0\) 秒附近车速的最佳近似，是匀速 \(0\) 米每秒。

3 用几何来求导

\(\star\) 微小变化量才是导数的本质。

微小变化量的平方就可以忽略。

幂函数的求导公式：\(\frac{dx^n}{dx}=nx^{n-1}\)。

解释：

\[\begin{aligned} (x+dx)^n&=\underbrace{(x+dx)(x+dx)\cdots(x+dx)}_{n个}\\ &=x^n+nx^{n-1}dx+(\mathrm{Multiple\ of\ }dx^2) \end{aligned}\]

对于 \(x^{-1}\) 的求导：看成 \(f(x)\times x=1\)，然后转化为图像的面积，表示出 \(d(\frac{1}{x})\)，然后再算 \(\frac{d(1/x)}{dx}=?\)。

对于 \(\sqrt x\) 的求导：看成面积为 \(x\) 的正方形，边长为 \(\sqrt x\)。当边长增加 \(d\sqrt x\) 时，面积的增加量即为 \(dx\)。

对于 \(\sin x\) 的求导：看单位圆。\(\frac{d(\sin x)}{dx}=\frac{邻边}{斜边}=\cos x\)。

4 直观理解链式法则和乘积法则

大部分函数都只包括三种组合方式的层叠：相加、相乘、复合。

• 加法的理解：图像。\(\frac{d}{dx}(g(x)+h(x))=\frac{dg}{dx}+\frac{dh}{dx}\)。

• 乘积的理解：面积。\(\frac{d}{dx}(g(x)h(x))=g(x)\frac{dh}{dx}+h(x)\frac{dg}{dx}\)。“左乘右导，右乘左导”。

• 复合的理解：三个数轴。\(\frac{d}{dx}g(h(x))=\underbrace{\frac{dg}{dh}(h(x))}_{\mathrm{d(Outer)}}\overbrace{\frac{dh}{dx}(x)}^{\mathrm{d(Inner)}}\)。“链式法则”。

5 指数函数求导

eg：\(M(t)=2^t\)。

\(\frac{2^{t+dt}-2^t}{dt}=???\)。

sol：

\[\begin{aligned} \frac{dM}{dt}(t)&=\frac{2^t2^{dt}-2^t}{dt}\\&=2^t(\dfrac{2^{dt}-1}{dt})\\&=2^t\times\mathrm{Constant}\end{aligned}\]

这个常数是啥？

\(\star\) 常数 \(e\) 的定义：\(\underbrace{\dfrac{e^{dt}-1}{dt}}_{dt\to 0}=1\)。即 \((e^x)'=e^x\)。

所以我们就可以利用复合函数求导得出 \(2^t\) 的导数了。

\(2=e^{\ln 2}\)，所以有 \(2^t=e^{\ln(2)t}\)，那么 \(M'(t)=\ln(2)e^{\ln(2)t}=2^t\ln2\)。

\(\star\) \(a^t=e^{\ln(a)t}\)。

6 隐函数求导

引入：求曲线的切线斜率。

\(x\) 和 \(y\) 同时由一个等式定义而互相联系在一起，这样的曲线就叫 隐函数曲线。

隐函数求导 / 隐微分：

\[\begin{aligned} x^2+y^2&=5^2\\ 2x\ dx+2y\ dy&= 0\\ \end{aligned} \]

• 「相关变化率」问题。引入 \(dt\) 使求导有明确意义，即求表达式随时间的变化率。

对两边同时求导：从图像上移动微小的一步 \((dx,dy)\) 对等式两边各有什么影响。

其实就是多元微积分的入门。

7 极限

导数的正式定义

\(dx\) 内置了极限的思想，所以 \(\lim\) 中一般用 \(\Delta x\) 或者 \(h\)。

导数的标准正式定义：

\[\frac{df}{dx}(2)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} \]

$\cdot $ 右边不含“无穷小”。

\(\cdot\ dx\) 是有限小的变化量。随时考虑 \(dx\) 逼近于 \(0\) 的情况。

讨论极限时讨论的是当变量逼近于零的时候的影响，而非无穷小的变化量的影响。

极限的 \(\epsilon-\delta\) 定义

\(\mathcal{Eg.}\lim\limits_{h \to 0}\frac{(2+h)^3-(2)^2}{h}=12\)

曲线在 \(x_0\) 处的极限：对于任意小的 \(\epsilon\) 都存在 \(x\) 轴上一段区间 \([x-\delta,x+\delta]\) 使得这段区间的所有函数值都在 \(f(x_0)\) 周围 \(\epsilon\) 范围内。

洛必达法则

8 积分与微积分基本定理

\(s(T)=\int_{0}^{T} v(t) \mathrm{d}t\)。\(\frac{ds}{dt}=v(T)\)。

任意函数图像下方面积的导数等于原先的函数本身。

微积分基本定理：\(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}=F(b)-F(a)\)，\(\frac{dF}{dx}(x)=f(x)\)。

9 面积和斜率有什么联系？

函数的一段与 \(x\) 轴的平均值。

一段区间切线斜率的平均数。

\(\sum \iff \int\)。

（好吧我也没蛮看懂

高阶导数

\(s(t)\)：位移。\(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\)：速度。\(\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}(t)\)：加速度。\(\frac{\mathrm{d}^3s}{\mathrm{d}t^3}(t)\)：急动度。

二阶导：导数的导数，展示斜率的变化情况。直观：观察函数图像的弯曲程度。

最大作用：得到函数的近似。

10 泰勒级数

在某个点附近，用多项式函数去近似其他函数。

多项式任意 \(n\) 阶的导数在 \(x=i\) 时的值，都由唯一的一个系数控制。

\(P(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+ \cdots\)：泰勒多项式。

• 教科书式写法：\(P(x)=f(0)+\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(0)\frac{x^1}{1!}+\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2}(0)\frac{x^2}{2!}+\frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}x^3}(0)\frac{x^3}{3!}+ \cdots\)。
• 任意点：\(P(x)=f(a)+\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a)\frac{(x-a)^1}{1!}+\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2}(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+\frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}x^3}(a)\frac{(x-a)^3}{3!}+ \cdots\)。

\(P_\pi(x)=c_0+c_1(x-\pi)+c_2(x-\pi)^2+c_3(x-\pi)^3+ \cdots\)。

一种理解：将某一点处函数的导数值信息转换成在那一点附近的函数值的信息。

累加无限多项：泰勒级数。利用函数某单个点的导数，来近似这个点附近函数的值。

「收敛半径」的概念。

参考

https://www.bilibili.com/video/BV1qW411N7FU。