Matrix-Tree 定理小记

发现身边的神仙们都会矩阵树定理，我这个菜鸡还不会，就来学了一下（

声明：本文几乎没有什么证明，感兴趣的读者可以看这里。

行列式

【模板】行列式求值

定义

对于一个矩阵 \(A_{i,j}\)，它的行列式 \(\det(A)=\sum\limits_{P}(-1)^{\tau(P)}\prod\limits_{i=1}^nA_{i,P_i}\)。

其中 \(P\) 为 \(1\sim n\) 的一个排列，\(\tau(P)\) 为 \(P\) 的逆序对数。

性质

上三角矩阵与下三角矩阵的行列式为对角线的乘积；
交换矩阵两行，矩阵行列式的值变号；
将矩阵的某一行乘 \(k\)，则矩阵行列式的值也乘 \(k\)；
矩阵中如果有两行（列）的值相同，则矩阵行列式的值为 \(0\)；
将矩阵某一行（列）加上另一行（列）的 \(k\) 倍，行列式的值不变。

代码

使用消元法求解。

#include <bits/stdc++.h>
#define DEBUG fprintf(stderr, "Passing [%s] line %d\n", __FUNCTION__, __LINE__)
#define File(x) freopen(x".in","r",stdin); freopen(x".out","w",stdout)
#define DC int T = gi <int> (); while (T--)

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair <int, int> PII;
typedef pair <int, PII> PIII;

template <typename T>
inline T gi()
{
    T f = 1, x = 0; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return f * x;
}

const int INF = 0x3f3f3f3f, N = 603, M = N << 1;

int n, mod;
LL a[N][N];

inline LL solve()
{
	LL ans = 1, op = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i+=1)
	{
		for (int j = i + 1; j <= n; j+=1)
		{
			while (a[i][i])
			{
				int p = a[j][i] / a[i][i];
				for (int k = i; k <= n; k+=1)
				{
					a[j][k] = ((a[j][k] - 1ll * p * a[i][k]) % mod + mod) % mod;
					swap(a[i][k], a[j][k]);
				}
				op *= -1;
			}
			swap(a[i], a[j]);
			op *= -1;
		}
		ans = ans * a[i][i] % mod;
	}
	return (ans * op % mod + mod) % mod;
}

int main()
{ 
    n = gi <int> (), mod = gi <int> ();
    for (int i = 1; i <= n; i+=1) for (int j = 1; j <= n; j+=1) a[i][j] = gi <LL> ();
    printf("%lld\n", solve());
    return 0;
}

无向图

设一张图 \(G\) 的度数矩阵为 \(D\)，邻接矩阵为 \(A\)。

易得：

\[D_{i,j}= \begin{cases} \deg(i)&{i=j}\\ 0&{i\not =j} \end{cases} \]

则图的基尔霍夫（Kirchhoff）矩阵 \(L=D-A\)。

设 \(L'\) 为基尔霍夫矩阵 \(L\) 去掉第 \(i\) 行和第 \(i\) 列（其中 \(1\le i\le n\)）得到的新矩阵，则 \(\det(L')\) 即为图 \(G\) 的生成树个数（\(\det(L')\) 为矩阵 \(L'\) 的行列式）。

有向图

修改一下度数矩阵 \(D\) 的定义：

若题目要求的是外向树个数，则 \(D\) 为入度矩阵，即：

\[D_{i,j}= \begin{cases} \deg_{in}(i)&{i=j}\\ 0&{i\not =j} \end{cases} \]

若题目要求的是内向树个数，则 \(D\) 为出度矩阵，即：

\[D_{i,j}= \begin{cases} \deg_{out}(i)&{i=j}\\ 0&{i\not =j} \end{cases} \]

注意这里依然要去掉一行一列，只是这里去掉的第 \(i\) 行第 \(i\) 列就代表生成树的根为 \(i\)。

代码

【模板】Matrix-Tree 定理

#include <bits/stdc++.h>
#define DEBUG fprintf(stderr, "Passing [%s] line %d\n", __FUNCTION__, __LINE__)
#define File(x) freopen(x".in","r",stdin); freopen(x".out","w",stdout)
#define DC int T = gi <int> (); while (T--)

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair <int, int> PII;
typedef pair <int, PII> PIII;

template <typename T>
inline T gi()
{
    T f = 1, x = 0; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return f * x;
}

const int INF = 0x3f3f3f3f, N = 303, M = N << 1, mod = 1000000007;

int n, m, t;
LL d[N][N], a[N][N], l[N][N];

inline LL solve()
{
	LL ans = 1, op = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i+=1)
	{
		for (int j = i + 1; j <= n; j+=1)
		{
			while (l[i][i])
			{
				int p = l[j][i] / l[i][i];
				for (int k = i; k <= n; k+=1)
				{
					l[j][k] = ((l[j][k] - 1ll * p * l[i][k] % mod) % mod + mod) % mod;
					swap(l[i][k], l[j][k]);
				}
				op *= -1;
			}
			swap(l[i], l[j]);
			op *= -1;
		}
		ans = ans * l[i][i] % mod;
	}
	return (ans * op % mod + mod) % mod;
}

int main()
{
    //File("");
    n = gi <int> (), m = gi <int> (), t = gi <int> ();
    for (int i = 1; i <= m; i+=1)
    {
    	int u = gi <int> (), v = gi <int> (), w = gi <int> ();
    	if (!t)
    	{
    		(d[u][u] += w) %= mod, (d[v][v] += w) %= mod;
    		(a[u][v] += w) %= mod, (a[v][u] += w) %= mod;
    	}
    	else
    	{
    		(d[v][v] += w) %= mod;
    		(a[u][v] += w) %= mod;
    	}
    }
    for (int i = 1; i <= n; i+=1)
    	for (int j = 1; j <= n; j+=1)
    		l[i][j] = d[i][j] - a[i][j];
    printf("%lld\n", solve());
    return 0;
}