题解【AcWing1089】烽火传递

题面

单调队列优化 DP 模板题。

我们考虑设 \(dp_{i}\) 表示从 \(1\) 到 \(i\) 能够准确传递情报，且第 \(i\) 个烽火台发出信号的最小费用。

转移方程不难得出：\(dp_{i} = \min_{i-m \leq j \leq i-1}\{dp_j\} + a_i\)（\(a_i\) 为第 \(i\) 个烽火台发出信号的费用）。

看到转移的条件：\(i-m \leq j \leq i - 1\)，这其实就是一个滑动窗口问题。

用一个单调队列维护长度为 \(m\) 的滑动窗口即可。

最后的答案是 \(\min_{n-m-1\leq i \leq n}\{dp_i\}\)。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 200003;

int n, m, a[N], q[N], hh, tt, ans, dp[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i+=1) cin >> a[i];
    hh = 0, tt = 0; //注意一开始队列中是有元素的
    for (int i = 1; i <= n; i+=1) //对于每一个烽火台进行转移
    {
        while (hh <= tt && q[hh] < i - m) ++hh; //队头是否在区间内
        dp[i] = dp[q[hh]] + a[i]; //DP 值转移
        while (hh <= tt && dp[q[tt]] >= dp[i]) --tt; //维护队列单调性
        q[++tt] = i; //加入队列
    }
    ans = 2000000007; //答案
    for (int i = n - m + 1; i <= n; i+=1) 
        ans = min(ans, dp[i]); //答案要从 n - m + 1 ~ n 的 DP 值中取最小值
    cout << ans << endl;
    return 0;
}