一些零散的知识
求一个数的欧拉函数值，即求出 φ(n)
设 \(p_1,p_2,p_3,...,p_r\) 为 \(n\) 的全部 \(r\) 个质因数，则有：
代码如下：
ans = n;
for (int i = 2; i * i <= n; i+=1)
{
if (n % i == 0)
{
ans = ans / i * (i - 1);
while (n % i == 0) n /= i;
}
}
if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
printf("%lld\n", ans);
ST 表
求区间最大值。
ST 表能做到 \(O(n \log n)\) 预处理， \(O(1)\) 查询。
代码：
n = gi(), m = gi();
llog[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; i+=1) llog[i] = llog[i >> 1] + 1;
for (int i = 1; i <= n; i+=1) a[i] = gi();
for (int i = 1; i <= n; i+=1) f[0][i] = a[i];
for (int i = 1; i < 17; i+=1)
{
for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j+=1)
{
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j + (1 << (i - 1))]);
}
}
while (m--)
{
int l = gi(), r = gi();
int s = llog[r - l + 1];
printf("%d\n", max(f[s][l], f[s][r - (1 << s) + 1]));
}
概率与期望
求期望时务必注意 逆推 ！！！
有关 DP 的优化
从某种意义上来说，DP 的优化其实就是 对朴素代码进行等价变形，在变形的过程中减小时间复杂度。
主要有以下几种优化：
- 单调队列优化；
- 倍增优化；
- 数据结构优化，其中包括线段树优化、树状数组优化等；
- ……
排序不等式
有以下两个数列 \(\{g_i\}\) 和 \(\{a_i\}\) ，保证 \(0 \leq g_1 \leq g_2 \leq ... \leq g_n\) ， \(0 \leq a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_n\) 。
那么要求出这两个数列两两配对相乘的乘积之和的最大值和最小值，就有：
- 最大值为 \(g_1 \times a_1 + g_2 \times a_2 + ... + g_n \times a_n\) ；
- 最小值为 \(g_1 \times a_n + g_2 \times a_{n - 1} + ... + g_n \times a_1\) 。
背包问题常见套路
一般的背包问题转移都是按照以下的顺序转移的：
状压 DP 常见套路
具体可以参考一下我 AcWing1064. 骑士 的 代码 和 AcWing327. 玉米田 的 代码。
常用技巧:
- 可以使用
if (i >> j & 1)来快速判断集合 \(i\) 中第 \(j\) 位是不是 \(1\)，也常用于枚举子集； - 在转移时可以将第一维多转移一个数，答案直接输出多转移的那一维状态为 \(0\) 的答案即可，具体需参考代码；
- 如果需要开滚动数组优化空间，并且只有两个状态之间相互转移的题目，可以直接在转移的一维 & 1 即可。
一种快速求组合数的方法
单调队列优化 DP
- 优化 DP 时头尾指针要初始化成
hh = tt = 0； - 一定要记住：判断队尾条件时条件的下标是 tt，不是 hh！！！所有单调队列的题都要注意！！！
常用建图方式
- 建一个虚拟源点、虚拟汇点；
- 直接按照题意建图；
- 根据题目中的递进关系建图。
一些常用的思想
- 前缀和思想；
- 预处理的思想；
- 差分思想；
- 建图的思想；
- DP——从集合角度分析的思想；
- ……
求出 n! 的约数个数
枚举一个数的所有约数
首先对这个数分解质因数，然后一遍 DFS 找出这个数的所有约数。
斜率优化注意事项
- 判断出队的条件是
hh < tt，没有等于号！！！ - 维护下凸包时：判断队头出队时是 \(\leq\)，判断队尾出队时是 \(\geq\)；维护上凸包时就反过来。
- ……
前 n 个数和为 m 的方案数
可以考虑 DP。设 \(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数和为 \(j\) 的方案数。
转移：\(dp_{i,j} = \sum\limits_{k=0}^{j-1}dp_{i-1,k}\)。
然后发现其实就是 \(dp_{i,j}=dp_{i-1,j}+dp_{i,j-1}\)，转化为格路问题就知道答案为 \(\binom{n+m-1}{m}\)。
或者直接使用隔板法，答案也是 \(\binom{n+m-1}{n-1}=\binom{n+m-1}{m}\)。
About 树上差分
- 树上差分最终统计是在 回溯时 计算！！！
曼哈顿距离与切比雪夫距离的互换
将每一个点 \((x,y)\) 转化为 \((x+y,x−y)\)，新坐标系下的 切比雪夫距离 即为原坐标系下的 曼哈顿距离。
将每一个点 \((x,y)\) 转化为 \(\left(\frac{x + y}{2},\frac{x - y}{2}\right)\)，新坐标系下的 曼哈顿距离 即为原坐标系下的 切比雪夫距离。
About 冒泡排序
设 \(c_i\) 为第 \(i\) 个数有多少个数比它大，那么逆序对数就是 \(\sum\limits_{i=1}^n c_i\)。
每一轮冒泡排序之后，每一个 \(c_i\) 都会减少且只减少 \(1\)。
About 二分图完美匹配数量
这玩意儿的值实际上就等于邻接矩阵积和式的值。
上三角 / 下三角矩阵的积和式等于行列式。
对每条边随机一个权值求出行列式，如果结果 \(\ne 0\) 说明有完美匹配。
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