LGV 引理——2025.7.18 鲜花

LGV 引理

心灵感应

ねえもっとちょうだい？
nē motto choudai?
:-b ;-b boy, :-b ;-b boy, duh
:-b ;-b boy, :-b ;-b boy, duh
:-b ;-b boy, :-b ;-b boy, duh
:-b ;-b boy, :-b ;-b boy
べー！ 気付(きず)いてよ　
bē  kizu ite yo
履修(りしゅう)してよ あたしのこと とんとん
rishū shite yo  atashi no koto ton ton
もー、べー！嫌(きら)いだよ　
mō  bē  kirai da yo
頭悪そうって顔するの　のんのん
あたまわるそうってかおするののんのん
atama warusou tte kao suru no non non
さあ  sā
勘繰(かんぐ)りダンス　ブギウギ
kanguri dansu 　 bugi ugi
迷子(まいご)でぼっち　デビデビ
maigo de bocchi 　 debi debi
感情(かんじょう)をください　ハイハイ
kanjou wo kudasai 　 hai hai
ぶー　bū
配慮(はいりょ)んダンス　ブギウギ
hairyo n dansu 　 bugi ugi
解釈一致(かいしゃくいっち)　ギミギミ
kaishaku icchi 　 gimi gimi
返答(へんとう)をください　ハイハイ
hentou wo kudasai 　 hai hai
「期待しないで」とか今更で　は？
「きたいしないで」とかいまさらで  は？
"kitai shinaide" toka imasara de  ha?
まじでSTOP　脈(みゃく)ナシハラスメント
maji de STOP myaku nashi harasumento
待ちに待った思春期頑張んべ
まちにまったししゅんき がんばんべ
machi ni matta shishunki ganbanbe
あいうぉんちゅーコールが聞(き)こえなーい
ai uonchu kōru ga kikoenā i
伝播する義務ラブ　マッチング
でんぱするぎむラブ　マッチング
denpa suru gimu rabu macchingu
要承認(ようしょうにん)ハートのリハしたい
youshounin haato no riha shitai
ライブでは下手(へた)くそ　やんなっちゃう
raibu de wa hetakuso yanna cchau
はぁ「恋愛ガールは叶えたい」
はぁ「れんあいガールはかなえたい」
hā  "ren'ai gāru wa kanae tai"
衝撃のアニメ化待っています
しょうげきのあにめかまっています
shougeki no animeka matte imasu
アンハッピーエンドじゃつまんない
an happī endo ja tsuman nai
“feat. きみ”を　ねえもっとちょうだい？
“feat. kimi ” wo　nē motto choudai ？
:-b ;-b boy, :-b ;-b boy, duh
:-b ;-b boy, :-b ;-b boy, duh
:-b ;-b boy, :-b ;-b boy, duh
:-b ;-b boy, :-b ;-b boy
ねえ 気付(きず)いても　
nē kizuite mo
無視()するとこ　そういうとこ
mushi suru toko sou iu toko
ねえ  嫌(きら)いだと　
nē kirai da to
思(おも)えるほど　強(つよ)くないの
omoeru hodo tsuyokunai no
さあ  テンパりトーク　ドギマギ
sā  tenpari tooku dogi'magi
ハードなチャンス　デビデビ
haado na chansu debi'debi
原稿(げんこう)をください ハイハイ
genkou wo kudasai hai'hai
さあ  ギャンブルトーク　ドギマギ
sā  gyanburu tooku dogi'magi
恋(こい)$ベット　デビデビ
koi $ betto debi'debi
全勝(ぜんしょう)をください ハイハイ
zenshou wo kudasai hai'hai
わああああああ　は？？
wā ā ā ā  ha ？ ？
まじでSTOP　逆張り harassment
まじでSTOP　ぎゃくはりハラスメント
majide STOP   gyaku hari harasumento
勝ちに行って負けるの何回目　嫌になんぜ
かちにいってまけるのなんかいめいやになんぜ
kachi ni itte makeru no nan kaime  iya ni nanze
あいうぉんちゅーコール伝(つた)わんない
ai uonchu kōru tsuta wannai
飽和する telepathy  zapping
ほうわするテレパシ　ザッピング
houwa suru terepashi  zappingu
妄想継承 して revenger
もうそうけいしょうしてリベンジャー
mousou keishou shite ribenjaa
先帝の無念晴らしてやる
せんていのむねんはらしてやる
sentei no munen harashite yaru
はぁ「転生(てんせい)したらあたしだった」
hā " tensei shi'tara atashi datta "
大好きの壁打ちやっています
だいすきのかべちやっています
daisuki no kabe uchi yatte imasu
アンハッピーエンドじゃつまんない
an happī endo ja tsuman nai
“feat. きみ”を　ねえもっとちょうだい？
“feat. kimi ” wo　nē motto choudai ？
:-Duh yeah, :-D ;-Duh yeah
:-Duh yeah, :-D ;-Duh yeah
:-Duh yeah, :-D ;-Duh yeah
:-Duh yeah, :-D ;-Duh yeah
あいうぉんちゅーコールが聞(き)こえなーい
ai uonchu kōru ga kikoenā i
アンハッピーエンドじゃつまんない
an happī endo ja tsuman nai
“feat. きみ”を　ねえもっとちょうだい？
“feat. kimi ” wo　nē motto choudai ？

很简单的。

就是每条边有边权 \(w_i\)，设 \(e(u, v)\) 表示 \(u \rightsquigarrow v\) 的每一条路径的边权和，\(A_i\) 是起点集合，\(B_i\) 是终点集合，矩阵：

\[ M = \begin{bmatrix} e(A_1, B_1) & \cdots & e(A_1, B_n)\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ e(A_n, B_1) & \cdots & e(A_n, B_n) \end{bmatrix}\]

有：

\[\rm det(M)= \sum_{S: A\to B} (-1)^{\sigma(S)}\prod_{s \in S} w(s) \]

其中 \(w(s)\) 表示 \(s\) 这条路径的边权积，\(S: A\to B\) 表示 \(S\) 是有 \(A\) 和 \(B\) 中的点两两配对形成的不交路径集，\(\sigma(S)\) 表示这种配对的逆序对个数。

先来个板子：P6657 【模板】LGV 引理】

考虑到 \(a\) 和 \(b\) 匹配只有 \(a_i\) 匹配 \(b_i\) 是有值的，所以直接写 LGV 即可。

P7736 [NOI2021] 路径交点

首先发现其交点个数的奇偶和逆序对奇偶是是一样的，直接上 LGV 即可。

Gym102978A Ascending Matrix

好题。

考虑转化成一些值域分割线从左上角走到右下角的方案，先平移一下变成不交。

限制相当于是恰有 \(k\) 条线从点的上方经过，设一些边的边权是 \(x\) 后提取 \(x^k\) 项系数即可。

不太能直接带着多项式求行列式，这里直接拉插即可。

Code

/*
ulimit -s 128000 && clear && g++ % -o %< -O2 -std=c++14 -DLOCAL -Wall -Wextra && time ./%< && size %<
ulimit -s 128000 && clear && g++ % -o %< -O2 -std=c++14 -DLOCAL -Wall -Wextra -fsanitize=address,undefined -g && time ./%< && size %<
echo && cat out.out && echo
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using llt = long long;
using llf = long double;
using ull = unsigned long long;
#define endl '\n'
#ifdef LOCAL
FILE *InFile = freopen("in.in", "r", stdin), *OutFile = freopen("out.out", "w", stdout);
#endif
 
const int N = 403, K = 103, MOD = 998244353;
int n, m, _k, _r, _c, _v, cd[N][N][2], c[N][N];
int INV(int a, int b){ return a == 1 ? 1 : b - 1ll * INV(b % a, a) * b / a; }
int Inv(int a, int b = MOD){ return INV(a < 0 ? a + b : a, b); }
llt dp[N][N][2];

int Det(int c[N][N], int n){
	int v = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		int t = i; for(; t <= n; ++t) if(c[t][i]) break;
		if(t > n) continue;
		if(t != i) swap(c[i], c[t]), v = -v;
		for(int j = i + 1; j <= n; ++j){
			int x = 1ll * Inv(c[i][i]) * c[j][i] % MOD;
			for(int k = i; k <= n; ++k) c[j][k] = (c[j][k] - 1ll * c[i][k] * x) % MOD;
		}
	}
	int r = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) r = 1ll * r * c[i][i] % MOD;
	return r * v;
}

class LGG{
private:
	int dp[K]; vector<int> ob;
	int Dp(int k){
		memset(dp, 0, sizeof dp), dp[0] = 1;
		for(auto b : ob){
			for(int i = k; i; --i) dp[i] = (dp[i - 1] + 1ll * dp[i] * b) % MOD;
			dp[0] = 1ll * dp[0] * b % MOD;
		}
		return dp[k];
	}
public:
	int y[K];
	int operator()(int n, int k){
		int r = 0;
		for(int i = 1; i <= n; ++i){
			ob.clear(); int s = 1;
			for(int j = 1; j <= n; ++j) if(j != i) ob.emplace_back(-j), s = 1ll * s * (i - j) % MOD;
			r = (r + 1ll * y[i] * Inv(s) % MOD * Dp(k)) % MOD;
		}
		return r;
	}
} Lgg;

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin >> n >> m >> _k >> _r >> _c >> _v, --_v, _r = _r + _v - 1, _c = _c + _v - 1, --_k;
	for(int u = 1; u <= _k; ++u){
		memset(dp, 0, sizeof dp), dp[u - 1][m + u][0] = 1;
		for(int i = u; i <= n + _k; ++i) for(int j = m + u; j; --j) if(i != _r + 1 || j != _c + 1){
			llt *d = dp[i][j];
			d[0] += dp[i][j + 1][0] + dp[i - 1][j][0], d[1] += dp[i][j + 1][1] + dp[i - 1][j][1];
			if(i <= _r && i - j == _r - _c) d[1] += d[0], d[0] = 0;
			d[0] %= MOD, d[1] %= MOD;
		}
		for(int v = 1; v <= _k; ++v) cd[u][v][0] = dp[n + v][v][0], cd[u][v][1] = dp[n + v][v][1];
	}
	for(int x = 1; x <= _k + 1; Lgg.y[x++] = Det(c, _k)) for(int i = 1; i <= _k; ++i) for(int j = 1; j <= _k; ++j)
		c[i][j] = (cd[i][j][0] + 1ll * cd[i][j][1] * x) % MOD;
	cout << (Lgg(_k + 1, _v) + MOD) % MOD << endl;
}

P