寒假集训模拟赛题目选写

寒假集训题目选写

不是哥们我到现在也没写完……

先发了，会接着写的 QwQ。

on 2025.4.7

有的没有题面就备注比赛了。

1. circles

   传说是签到题，其实是 trick dp。

   考虑首先按 \(a_i\) 排序，考虑设 \(dp_{i, j}\) 表示当前到第 \(i\) 的点，有 \(j\) 条链。

   分讨加入左端点还是右端点，考虑左端点所包含的端点只增，所以每次先加入一个右端点，在加入所有包含它的左端点，这样在加入右端点时其没和任意点相连，一定会新加一条链，加入左端点是一定和所有加入的右端点，一定可以将两条或一条链合成一个环。

   注意去掉二元环和由于链的有向性导致的算两遍。

2. aw T1

   首先把贡献摊到每条边上。

   预处理每条边两侧的点的个数，显然其不会变化。

   发现方案数有点魔怔，不如期望好整，维护期望（只考虑定向的概率）。

   设 \(f_{u}, g_{u}\) 表示 \(u\) 的点数期望和平方期望。

   \(f_{u}\) 会变成 \(\frac{1}{2} \sum\limits_{x, y} p_{u, x} p_{v, x} (x + y)\)，这里 \(p\) 表示概率，拆拆式子就是 \(\frac{1}{2}(f_{u} + f_{v})\)。

   \(g\) 同理。

3. awa T2

   先考虑枚举 \(t\) 的分界点 \(p\)，其变成了分别用 \(t[1 : p],t[p + 1 : |t|]\) 匹配 \(s\) 的前后缀。

   设 \(p\) 在 \(s\) 和其反串的 \(border\) 树上的点分别是 \(x', y'\)，一组 \((x, y)\) 合法当且仅当 \(x\) 和 \(y\) 的根链上存在一对 \(x', y'\)。

   线段树合并维护虚树大小即可。

4. awaw T3

   没写，只记录一下 trick。

   对横坐标分块，每 \(w\) 分一块，这样每个矩阵就一定贴上界或下界了，然后就直接做了。

5. 等差（arithmetic） T1

   容易发现 \(k\) 必然单调。

   难点在于如何 check。

   有优秀的随机 check，即判断其中几项的差是否满足公差，即用任意两项算出的公差不矛盾，复杂度是调和级数的，赛后被卡到 95 了。

   考虑 hash，循环先转化到 border，用 hash 可以一次判断好多项。

6. 叉积（cross） T2

   我被卡精度了，但是同样做法的 jijidawang 过了。

   考虑先前缀和，问题变成了求最小和最大，分治维护答案函数即可。

7. A Dance of Fire and Ice

   首先要会原根，模 \(p\) 意义下的原根是一个数 \(g\) 满足 \(\forall i \in [1, \varphi(p)] g^i\) 取遍 \([1, \varphi(p)]\)。

   求原根一般就枚举 \(g\)，对 \(\varphi(p)\) 的真因数 \(a\) 判断 \(g^a \not= 1\)，可以证明 \(g\) 的大小不会超过 \(\mathcal{O}(n^{\frac14})\)

   于是用原根的 \(k\) 次幂将乘法转成加法，然后 bitset 理论就能过了。

   有 \(p \log^2 p\) 的做法，就是用树状数组维护哈希值，二分找不一样的位置，然而并没有 bitste 快。

8. 挖掘机技术哪家强

   鲜花

9. 皮胚

   我估计要学费用流了。

   鲜花

10. 雪雀

    题目太魔怔了，要求的是网格图上两两之间的最短路之和。

    首先这种网格图最短路题行还十分少就直接二分。

    考虑如何求跨过中心的最短路，容易发现其一定不会跨过两次中心，于是直接 \(dp_{i, j}\) 表示从 \(i\) 到线上的第 \(j\) 层的最短路。

    转移不太难，唯一问题就是可能会有 \(1, 3\) 两行从后面绕的情况，特殊处理也不太难。

11. 波长

    鲜花

12. 送信 T1

    几百题。

    考虑将链加一个点并变成环，每次相当于可以顺时针或逆时针走，求不经过 \(n + 1\) 点的概率。

13. 饺子 T2

    就是首先你需要会重要结论，对于一个质数 \(n\)，任意 \(n - 1\) 个非 \(0\) 数的所有子集和，其取遍模 \(n\) 的完系。

    证明就是考虑若对于所有的 \(1 \le i < n\)，前 \(i - 1\) 的子集和 \(S_{i - 1} \not= S_i\)，则最后一定是个完系。

    若 \(S_{i - 1} = S_i\)，因为 \(n\) 是质数，且 \(S_{i - 1}\) 在加上 \(a_i\) 后没变，证明 \(S_{i - 1}\) 就已经是个完系了。

    其实就是 \(n\) 的非完全剩余系加上一个数后一定至少加一。

    然后就简单了，若存在绝对众数则直接输出，否则两两一组跑 DP 即可。

    ccx 有非正解随机做法。

14. 机关 T3

    鲜花 MARENOL 是首好歌，只是不能在机房放。