省选博弈专题

省选博弈专题

1. Games on DAG

   发现 \(n \le 15\)，结合一些东西容易想到枚举子集。

   容斥一下等价于求 \(sg_1 = sg_2\) 的个数，想到按照 \(sg\) 分层图。

   发现如果正着做，对于当前层的每个点都需要之前的层来连边，也就是说要维护之前每层的点集，显然不可做。

   考虑倒着做，发现其只需要当前这层对每个之后层的点连边即可，不区分具体层数，十分可做。

   于是我们形式化的描述一下限制，设当前将要处理集合 \(S\)，之前已经处理集合 \(T\)，\(K \cup T = S \land K \cap T = \varnothing\)，即 \(K\) 是这层新增节点。

   对于 \(u \in S\)

   \(u \in T\) 则 \(u\) 对 \(K\) 内的点任意连边或不连。

   \(u \in K\) 则 \(u\) 对 \(T\) 内的点至少连 \(1\) 条边。

   处理一下 \(u\) 到集合 \(X\) 的连边数即可 \(\mathcal{O}(3 ^ n n)\)。

2. Black and White Tree

   这个是水了。

   容易发现先手一定能牵制后手，即先手每次选一个点使得起所有儿子都是叶子，如果这个点不只有一个儿子，则先手必胜，并且一定不劣。

   于是模拟一圈圈剥叶子即可，其本质上是一棵树的完美匹配，有个还算有点意思的结论是其等价于没有一个点有奇数个儿子。

3. Candy Piles

   首先先降序排序，画出网格图可以发现其等价于每次消行或消列，等价于从左下出发每次向上或向右走一个。

   打个表容易发现其副对角线上的所有 \(sg\) 值相等，证明也不太难，简单分讨即可。

   注意判一下可能会在终点处有相等，即可以从右转移。

4. Decrementing

   你先发现一个 \(1\)，如果有 \(1\) 则所有 \(gcd\) 都是 \(1\)，于是问题就是统计偶数个数（因为要剩一个）。

   一下所有奇数均不包括 \(1\)。

   首先显然的是因为保证任意时刻 \(\gcd = 1\) 所以不可能全是偶数。

   若有奇数个偶数，此时先手只要保持即可胜利，即将一个偶数变成奇数，这样后手时至少有两个奇数，无论如何选都无法改变奇偶性。

   若有偶数个偶数，此时先手只有一个翻盘的机会，若有唯一一个奇数，则可以将这个减成偶数在除 \(gcd\)，然后吧决策让给后手。

   最多递归 \(log\) 层，复杂度 \(n \log ^ 2 n\)

5. Rearranging

   首先先考虑青木如何做，考虑每个数最早能放到哪，发现任意两个不互质的数不会交换，于是建图，将 \(u\) 于在它后面且不和他互质的数连单向边，最后就是跑最大拓扑序。

   考虑高木的操作，可以看成是对每个连通块定向成 DAG。

   比较显然的贪心定向就是 dfs 每次选最小的点。

6. 取石子游戏

   再次被背刺。

   考虑 \(dp_{l,r}\) 表示 \(l, r\) 是否先手必胜。

   发现没法转移，考虑加一维， \(L_{l,r,v}, R_{l,r,v}\) 表示在左、右加一个数 \(x\) 是否先手必胜。

   发现状态太大了，考虑键值互换，发现对于任意一边其最多有一个值先手必败，考虑若有两个可以将大的那个经过一步转移到小的，显然矛盾。

   然后就是逆天分讨转移，我懒得写了，建议参考其他题解。

7、8 看鲜花