求值 $\sum\limits_{i=1}^{n} ia^i$——2023.5.9 远古鲜花
整理博客时发现一个远古鲜花,之前竟然一直压着?
自动备份告诉我是 2023 年 5 月 9 日的?
jijidawang 什么时候就会有限微积分了?
求值 \(\sum\limits_{i=1}^{n} ia^i\)
首先特判 \(a=0,1\),接下来解决 \(a\neq 0,1\) 的情况。
一:
令 \(\displaystyle f(n)=\sum_{i=1}^{n} ia^i\)。
\[\begin{aligned}
\Delta f(n) & =f(n)-f(n-1)
\\& = \sum_{i=1}^{n} ia^i - \sum_{i=1}^{n-1} ia^i
\\& = \sum_{i=1}^{n} ia^i - \sum_{i=2}^{n} (i-1)a^{i-1}
\\& = \sum_{i=1}^{n} ia^i - \sum_{i=1}^{n} (i-1)a^{i-1}
\\& = \sum_{i=1}^{n} ia^i - (i-1)a^{i-1}
\\& = \sum_{i=1}^{n} [(a-1)i+1] a^{i-1}
\\& = \sum_{i=1}^{n} (a-1)ia^{i-1} +\sum_{i=1}^{n} a^{i-1}
\\& = \frac{a-1}a \sum_{i=1}^{n} ia^i + \frac{a^n-1}{a-1}
\\& = \frac{a-1}a f(n) + \frac{a^n-1}{a-1}
\end{aligned}\]
又 \(\because \Delta f(n) = f(n)-f(n-1) = na^n\)
\[\therefore na^n=\frac{a-1}a f(n) + \frac{a^n-1}{a-1}
\]
解得:
\[f(n) = \frac{a (n a^{n + 1} - n a^n - a^n + 1)}{(a - 1)^2}
\]
——来自jijidawang
二:
设:
\[S=\sum_{i=1}^{n} ia^i
\]
1:
\[S=1\times a^1 + 2\times a^2 + ... + n\times a^n
\]
\[aS=0\times a^1 + 1\times a^2 + ... + n\times a^{n+1}
\]
\[\begin{aligned}
aS-S & = n\times a^{n+1} - \sum_{i=1}^{n} a^i
\\& = n\times a^{n+1} - \frac{a^{n+1}-a}{a-1}
\end{aligned}\]
\[\therefore S=\frac{a (n a^{n + 1} - n a^n - a^n + 1)}{(a - 1)^2}
\]
——来自wkh2008
综合
\[\sum_{i=1}^{n} ia^i = \begin{cases}\frac{n(n+1)}2&a=1\\\frac{a (n a^{n + 1} - n a^n - a^n + 1)}{(a - 1)^2}&\text{otherwise.}\end{cases}
\]
jijidawang:
快发闲话!
这么经典还发闲话!
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