求值 $\sum\limits_{i=1}^{n} ia^i$——2023.5.9 远古鲜花

整理博客时发现一个远古鲜花,之前竟然一直压着?
自动备份告诉我是 2023 年 5 月 9 日的?
jijidawang 什么时候就会有限微积分了?

求值 \(\sum\limits_{i=1}^{n} ia^i\)

首先特判 \(a=0,1\),接下来解决 \(a\neq 0,1\) 的情况。

一:

\(\displaystyle f(n)=\sum_{i=1}^{n} ia^i\)

\[\begin{aligned} \Delta f(n) & =f(n)-f(n-1) \\& = \sum_{i=1}^{n} ia^i - \sum_{i=1}^{n-1} ia^i \\& = \sum_{i=1}^{n} ia^i - \sum_{i=2}^{n} (i-1)a^{i-1} \\& = \sum_{i=1}^{n} ia^i - \sum_{i=1}^{n} (i-1)a^{i-1} \\& = \sum_{i=1}^{n} ia^i - (i-1)a^{i-1} \\& = \sum_{i=1}^{n} [(a-1)i+1] a^{i-1} \\& = \sum_{i=1}^{n} (a-1)ia^{i-1} +\sum_{i=1}^{n} a^{i-1} \\& = \frac{a-1}a \sum_{i=1}^{n} ia^i + \frac{a^n-1}{a-1} \\& = \frac{a-1}a f(n) + \frac{a^n-1}{a-1} \end{aligned}\]

\(\because \Delta f(n) = f(n)-f(n-1) = na^n\)

\[\therefore na^n=\frac{a-1}a f(n) + \frac{a^n-1}{a-1} \]

解得:

\[f(n) = \frac{a (n a^{n + 1} - n a^n - a^n + 1)}{(a - 1)^2} \]

——来自jijidawang

二:

设:

\[S=\sum_{i=1}^{n} ia^i \]

1:

\[S=1\times a^1 + 2\times a^2 + ... + n\times a^n \]

\[aS=0\times a^1 + 1\times a^2 + ... + n\times a^{n+1} \]

\[\begin{aligned} aS-S & = n\times a^{n+1} - \sum_{i=1}^{n} a^i \\& = n\times a^{n+1} - \frac{a^{n+1}-a}{a-1} \end{aligned}\]

\[\therefore S=\frac{a (n a^{n + 1} - n a^n - a^n + 1)}{(a - 1)^2} \]

——来自wkh2008

综合

\[\sum_{i=1}^{n} ia^i = \begin{cases}\frac{n(n+1)}2&a=1\\\frac{a (n a^{n + 1} - n a^n - a^n + 1)}{(a - 1)^2}&\text{otherwise.}\end{cases} \]

jijidawang:
快发闲话!
这么经典还发闲话!

posted @ 2025-05-11 21:27  xrlong  阅读(44)  评论(0)    收藏  举报

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