容斥与二项式反演

基础容斥与二项式反演（广义容斥）

基础容斥：

\[\left | \bigcup_{i=1}^nA_i \right |=\sum_{T\subseteq \{1,2,...,n\}}(-1)^{|T|-1}\left | \bigcap_{i\in T} A_i \right | \]

一般用于求解集合的并。

广义容斥直接看二项式反演。

二项式反演

再次感谢 SoyTony 老师教会我二项式反演。

这里用 \(g(i)\) 表示钦定（至少、至多），\(f(i)\) 表示恰好。

首先是两个基本式子

\[g(n)=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}{i}f(i)\iff f(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}\dbinom{n}{i}g(i) \tag{1} \]

\[g(n)=\sum\limits_{i=n}^N\dbinom{i}{n}f(i)\iff f(n)=\sum\limits_{i=n}^N(-1)^{i-n}\dbinom{i}{n}g(i) \tag{2} \]

一般对于 \(g\) 至多采用 \((1)\)，至少采用 \((2)\)

具体证明就不写了，可以直接看 this。

重点写在于理解，其他可以直接看上面的博客。

唯一要注意的就是钦定不需要选 \(i\) 个。