倒水问题

一、问题描述：

有两个容器，容积分别为A升和B升，有无限多的水，现在需要C升水。

我们还有一个足够大的水缸，足够容纳C升水。起初它是空的，我们只能往水缸里倒入水，而不能倒出。

可以进行的操作是：

  把一个容器灌满；

  把一个容器清空（容器里剩余的水全部倒掉，或者倒入水缸）；

  用一个容器的水倒入另外一个容器，直到倒出水的容器空或者倒入水的容器满。

      问是否能够通过有限次操作，使得水缸最后恰好有C升水。  

二、分析

一个标准的倒水问题是一个扩展的欧几里得算法。就是看 A*x+B*y=M这个方程有没有x,y的整数解的问题，

定理

   对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。如果求出最大公约数以后，再用C对这个公约数取模，如果为0表示满足要求，否则就不行。

最大公约数求法：辗转相除法 辗转相减法

三、是否存在倒水方案

简单的说，就是通过辗转相除得到一个公约数，而这个公约数是a和b互相倒水可以倒出来的，再看这个公约数是不是c的约数。

比如3和5，辗转相除以后，最大公约数是1，这个1是这么倒水倒出来的。再看1是不是c的约数，如果是，那就能倒1，倒1，倒1。。。一直倒满c了。再比如4和6，辗转相除以后是2，这样，如果c是一个奇数，就到不满了。。

四、倒水方案

不断用小桶装水倒入大桶，大桶满了立即清空，每次判断下二个桶中水的容量是否等于指定容量

参考

http://blog.sina.com.cn/s/blog_6c777201010144tj.html