LeetCode 338. 比特位计数

题目描述

给定一个非负整数 num。对于 0 ≤ i ≤ num 范围中的每个数字 i ，计算其二进制数中的 1 的数目并将它们作为数组返回。

示例1：

输入: 2
输出: [0,1,1]

示例2：

输入: 5
输出: [0,1,1,2,1,2]

进阶：

• 给出时间复杂度为 \(O(n*sizeof(integer))\) 的解答非常容易。但你可以在线性时间 \(O(n)\) 内用一趟扫描做到吗？
• 要求算法的空间复杂度为 \(O(n)\)。
• 你能进一步完善解法吗？要求在C++或任何其他语言中不使用任何内置函数（如 C++ 中的 __builtin_popcount）来执行此操作。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/counting-bits

思路解析

题目中要求时间复杂度为 \(O(n)\)，但是 \(O(1)\) 的时间复杂度下无法计算一个数字的 1bit 数，因此考虑动态规划。
例如：9(1001) 比 1(1) 的 1bit 数多1，因为 9 仅在最高位上多出了一个1，因此我们需要考虑记录一个最高位，一旦知道了当前（i）的最高位为 highBit， 那么可得状态转移方程：

• bit[i] = bit[i - highBit] + 1

问题在于如何在 \(O(1)\) 的时间复杂度下记录当前的最高位？
直接给出结论：

• (i & (i - 1)) == 0，则 i 为 \(2^n\)。

代码实现

class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int num) {
        vector<int> bit(num + 1);
        int highBits = 0;
        for(int i = 1; i <= num; i++) {
            if((i & (i - 1)) == 0)
                highBits = i;
            bit[i] = bit[i - highBits] + 1;
        }
        return bit;
    }
};