约瑟夫问题

问题描述

据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，\(39\) 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，\(39\)个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，\(41\)个人排成一个圆圈，由第\(1\)个人开始报数，每报数到第\(3\)人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过\(k-2\)个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第\(k\)个人。接着，再越过\(k-1\)个人，并杀掉第\(k\)个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决。Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第\(16\)个与第\(31\)个位置，于是逃过了这场死亡游戏。^[1]

简单描述：\(0,1,\cdots,n-1\) 这\(n\)个数字排成一个圆圈，从数字\(0\)开始，每次从这个圆圈里删除第\(m\)个数字，并将起点标记为第\(m+1\)个数字，求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如：

输入：n = 5, m = 3

对应数字为：0 1 2 3 4，删除的前4个数字依次为：2 0 4 1，最终剩下的数字为3。

解决方法

问题1：\(0,1,\cdots,n-1\)，删除第\(m\)个数字（第\(m\)个数字的序号为\((m-1)\)）后，其余数字的序号是如何改变的？

若原序列某一位的序号为\(k\)，删除第\(m\)个数字后，该数字的序号变为\(k'\)。

若\(k>m-1\)（该数字在被删除数字之后），则\(k'=k-m\)

若\(k<m-1\)（该数字在被删除数字之前），则\(k'=n-m+k\)

综合考虑，有：\(k'=(k-m)\%n\)，\(\%\)表示求余。

问题2：已知删除第\(m\)个数字后，某数字的序号为\(k'\)，此序列中剩余数字的个数为\(n-1\)，则删除第\(m\)个数字前，该数字的序号是？

根据问题1，我们已经得到了由\(k\)求\(k'\)的关系式，那么由\(k'\)求\(k\)的关系式可如下计算：

因为：

\[k'=(k-m)\%n \]

则：

\[k-m=\tau \cdot n + k' \ (\tau \in Z) \]

有：

\[k=\tau \cdot n + k + m \]

又已知：\(k \in [0, n-1]\)
则：

\[k=(\tau \cdot n + k + m)\%n=(k + m)\%n \]

从而我们推出了由\(k'\)求\(k\)的关系式：

\[k=(k + m)\%n \]

问题3：说这么多废话，约瑟夫问题到底怎么解决？

对于最后的胜利者，也就是最终剩下的那个数字，他在这一轮的序号一定是\(0\)。

根据问题2中的阐述，我们可以推导出：这个胜利数字，在倒数第二轮中，他的序号是多少。（\((0+m)\% 2\)）

依次类推，得到如下递关系式：

\[\left\{ \begin{array}{**lr**} F(n) = (F(n-1) + m) \% n \\ F(1) = 0 \end{array} \right. \]

代码实现

具体题目描述见 LeetCode 剑指 Offer 62

class Solution {
public:
    int lastRemaining(int n, int m) {
        int count = 1;
        int prev = 0;
        int curr;
        while(count <= n) {
            curr = (prev + m) % count;
            prev = curr;
            count++;
        }
        return curr;
    }
};

---

1. Ronald L.Graham,Donald E.Knuth,Oren Patashnik ．具体数学计算机基础（第2版） ：人民邮电出版社，2013：7 ↩︎