关于某道法国数学竞赛题的一些记录

刷到了很多次这个题目，每次感觉都有点惊艳到自己，自己的真的挺笨的,这里先简单记录下吧。
题目如下:

这个题目我喜欢就是特殊值代入0和1,但是发现最后不成立的。

\[t^{4}-t^{3}-t-1=? \]

但是我当时发现自己很难想到去比较 1和(1+t)^(1/2)的关系。
问题应该是1.自己对数字敏感度不够，2.核心计算能力实在太差了。
遇到这个复杂的问题，可以考虑从局部入手。
这里存在了一个套娃的形式，我们可以考虑只有2层的情况。

\[t = \sqrt{1+\sqrt{1+t}} \]

脑子第一反应应该是t的范围>根号1,但是我当时却没办法判断出t与根号(1+t)的情况。
但是运用条件是可以。
(1)假设t<根号(1+t),那么就会有$$t = \sqrt{1+\sqrt{1+t}} > \sqrt{1+t} $$
显然是矛盾。
同理也可假设t>根号(1+t) 也可以是矛盾的
最终可以得到

\[t = \sqrt{1+t} \]

那么后面就变得简单了。
t^2 = 1+t t^3 = 2t+1 t^4= 3t+2 故结果是 3t+2-2t-1-t-1=0.

后面我开始回顾出题人的思路:
发现其实这是个迭代的思想

\[x = \sqrt{1+x} \]

这是一个式子,基于这个式子我们可以利用迭代来变形。
将根号里面的x用左边的x的值根号(1+x)来替代也是成立

\[x = \sqrt{1+\sqrt{1+x}} \]

所以这里就算无数次迭代下去等式都是成立的。
这个解我们可以利用牛顿迭代法求出精确地数值解。