浅谈保序回归

一，保序回归的定义

数学定义： 给定一个有限的实数集合

$Y=y_1,y_2,...y_n$ 代表观察到的响应，以及 $X=x_1,x_2,...x_n$ 代表未知的响应值，训练一个模型最小化下列方程：

$$f(x)=\sum _{i=1}^n{w}_i{(y_i-x_i)}^2$$

其中 $x_1\le x_2...\le x_n,w_i$ 为权重是正值，其结果称之为保序回归，而且其解是唯一的。

翻译一下：给出一个有向图 边 $(u,v)$ 表示一种偏序关系要求权值 $y_u\le y_v$ 可以修改每个点的权值 费用为修改前后贡献的平方差 要求修改后的点满足偏序关系

二，套路做法

整体二分

整体二分时给点分类时是这样一个过程

每个点只能取 $mid,mid+1$ 要求满足偏序关系 且费用最小

有一个结论是
取 $mid$ 的点的答案取值为 $[l,mid]$ 取 $mid+1$ 的点的取值为 $[mid+1,r]$

怎么求每个点取 $mid$ 还是 $mid+1$ 呢？

最大（小）权闭合子图：
“闭合子图”就是某个点集$V$ ，满足对于任意 $u\in V$，对于任意 $(u,v)\in E$ 都有 $e\in V$。用人话说就是从$V$中的每个点开始遍历，
能够遍历到的每个点都在$V$ 中。每个点上有个权值 $w_i$，要选出一个闭合子图使得点权最大。
一般套路：网络流，建个新图。对于每个点i ，如果 $w_i>0$ 就连边 $(S,i,w_i)$ ，如果 $w_i<0$ 就连边 $(i,T,-w_i)$ 。原图中的每一条边都在新图中对应地连，容量无穷。
答案为 ${\sum }_{w_i>0}{w}_i-最小割$
理解：如果不考虑限制，则贪心地选所有正权点是最优的。加入限制，对于一个点$u$ ，如果它不选，则所有$v$ ，满足从$v$ 开始遍历可以走到$u$ ，这些$v$ 都不能选。显然所有$u$ 满足这个条件是充分必要条件。
放在图中来看：割掉边 $(u,T)$ ，即选$v$ ，或者割掉边 $(S,v)$ ，即不选$v$ 。 —A1847225889

简单说就是把每个点权值设为 $-(w(i,mid+1)-w(w,mid))$

$w(i,f)$ 为 $y_i$ 变为 $f$ 时的代价

然后跑网络流

选了的点就是 $mid+1$ 不选的点是 $mid$

割掉边 $(u,T)$ ，即选$v$ ，或者割掉边 $(S,v)$ ，即不选$v$

例题 P6621 [省选联考 2020 A 卷] 魔法商店

三，拓展

我们上述讨论的是 $f(x)={\sum }_{i=1}^n{w}_i{(y_i-x_i)}^2$ 的问题

其实可以拓展到 $f(x)={\sum }_{i=1}^n{w}_i{(y_i-x_i)}^p$ 的情况上

做法一摸一样（你会发现我们求解时根本没用到多少次幂

四，证明

1. 证明做法中一个结论

取 $mid$ 的点的答案取值为 $[l,mid]$ 取 $mid+1$ 的点的取值为 $[mid+1,r]$

这个我不会证但是论文里面有 大佬们可以取看看 （2018集训队论文高睿泉《浅谈保序回归问题》）

2. 时间复杂度 $O(n^{2}logn)$

整体二分一个 log

然后网络流感性理解 每次平均 $O(n)$