WC2021 菊蒻yxy的题解

[WC2021] 括号路径

显然 如果 $a$ 可以到达 $b$ ，则有 $b$ 可以到 $a$

我们考虑从小的括号序列开始找 当存在边 $(a,b,w)$ 和 $(c,b,w)$ 都为左括号

那么就有 $a->b->c$ 构成一个合法序列 ​所以 $a,c$ 互相可以到达

此时就可以把 $a,c$ 缩成一个点 用并查集实现，并维护每一个集合指向它且为左括号的边和当前 $size$

再用新的并查集来当中介去合并新的点

具体实现时 按置合并边（同类型边放一起 用 $map$ ）。当一个并查集当中介时 它的同类型的边对应的点可以合并 所以一个合并可能会引起另一个合并，把它们放入队列处理，队列中存合并操作。

时间复杂度 $O(m\log m)$ 期望得分100

[WC2021] 表达式求值

考虑一列一列处理 把矩阵每一列分别计算 相当于求解

• 给定数组 $A_0,...,A_{m-1}$，那么对应的 $2^t$ 个表达式的和是多少？

首先建出表达式树 子节点为值 $A_i$ 非子节点为 $<,>,?$

然后在树上 $dp$

$S$ 是存数组下标的集合，$x$ 是树上的一个节点，$su{m}_x$ 为 $x$ 子树所有的方案数，$l$ 为 $x$ 左子树，$r$ 为 $x$ 右子树

状态 $dp(S,x)$ 表示：在任意 $i\in S$ 且 $j\notin S$ 有 $A_i>A_j$ 的情况下，$x$ 出算出来的结果是 $A_i$（ $i\in S$ ）的方案数

那么很容易得到转移方程

• $x={}^{\prime }{>}^{\prime }$ 时

  $$dp(S,x)=dp(S,l)\times su{m}_r+(su{m}_x-dp(S,l))\times dp(S,r)$$

• $x={}^{\prime }{<}^{\prime }$ 时

  $$dp(S,x)=dp(S,l)\times dp(S,r)$$

• $x={}^{\prime }{?}^{\prime }$ 时

  $$dp(S,x)=dp(S,l)\times su{m}_r+(su{m}_x-dp(S,l))\times dp(S,r)+dp(S,l)\times dp(S,r)$$

求得所有的 $dp(S,x)$ 后 我们开始计算最后的 $ans$

对 $A_0,A_1,A_2...A_{m-1}$ 排完序后得到 $A{p}_0,A{p}_1,...A_{p_{m-1}}$

答案就是

$$ans=\sum _{i=0}^{m-1}A{p}_i\times (dp(\{p_0,p_1,...,p_i\},root)-dp(\{p_0,p_1,...,p_{i-1}\},root))$$

时间复杂度 $O(2^m\mid E\mid +npoly(m))$ 期望得分100

[WC2021] 斐波那契

呜呜呜呜呜我对这类题过敏啊呜呜呜

您们好好学数学了吗 呜呜我没有我只会看题解

题解 P7325 【[WC2021] 斐波那契 大佬的题解

orz orz 扑通扑通跪下来