hqx定理

今天改模拟赛题，见到前辈的题解中有一个十分nb的式子，记录一下。因为题解上传者是hqx，所以叫hqx定理。

对 \(n!\) 进行质因数分解：\(n!=\prod_{i=1}^m p_i^{k_i}\)，则有

\[k_i=\sum_{j=1}^{\log_{p_i}n } {\lfloor \dfrac{n}{p_i^j}\rfloor} \]

证明

对于 \(n!\) 的因子，肯定是 \([1,n]\) 贡献的。而 \(p_i^{k_i}\) 这个乘积，那么因子必定是 \(p_i\) ，通俗一点， \([1,n]\) 中有 \(k_i\) 个 \(p_i\)。

在 \([1,n]\) 中，能对 \(k_i\) 贡献的数，因子里面必定有 \(p_i\) 的倍数。而枚举 \(j\) 是枚举这个倍数是 \(p_i\) 的几次幂。一次幂有 \(\lfloor \dfrac{n}{p_i} \rfloor\) 个，每个可贡献一次；对于二次幂，有 \(\lfloor \dfrac{n}{p_i^2} \rfloor\) 个，每个应该是贡献两次，但是第一次已经贡献了，所以不会重复贡献。剩下的也类似。
得证。

应用

最经典的莫过于处于组合数 \(\binom{n}{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\) 要取模，而且模数还不是个质数的情况。这样，线性筛一下，记录一下 \(k_i\) 相减就可以做除法。最后乘起来用快速幂。

时间复杂度是 \(O(n+\pi(n)\log n)\) 的，原文中说它近似于 \(O(n)\)。