CF1660E Matrix and Shifts

CF1660E Matrix and Shifts

题目描述

给定一个 \(n \times n\) 的二进制矩阵 \(A\)。行编号从上到下为 \(1\) 到 \(n\)，列编号从左到右为 \(1\) 到 \(n\)。位于第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素记作 \(A_{ij}\)。现有如下 \(4\) 种操作：

1. 所有行循环上移一格。第 \(i\) 行会被移动到第 \(i-1\) 行的位置（\(2 \le i \le n\)），第 \(1\) 行会被移动到第 \(n\) 行的位置。
2. 所有行循环下移一格。第 \(i\) 行会被移动到第 \(i+1\) 行的位置（\(1 \le i \le n-1\)），第 \(n\) 行会被移动到第 \(1\) 行的位置。
3. 所有列循环左移一格。第 \(j\) 列会被移动到第 \(j-1\) 列的位置（\(2 \le j \le n\)），第 \(1\) 列会被移动到第 \(n\) 列的位置。
4. 所有列循环右移一格。第 \(j\) 列会被移动到第 \(j+1\) 列的位置（\(1 \le j \le n-1\)），第 \(n\) 列会被移动到第 \(1\) 列的位置。

上图左侧为 \(3 \times 3\) 矩阵在执行第 \(3\) 种操作前的状态，右侧为执行后的状态。你可以对矩阵执行任意次（也可以不执行）上述操作，顺序不限。

之后，你可以执行任意次（也可以不执行）新的异或操作：

• 选择任意一个元素 \(A_{ij}\)，将其赋值为 \(A_{ij} \oplus 1\)。也就是说，将 \((A_{ij} + 1) \bmod 2\) 写入 \(A_{ij}\)。

每执行一次异或操作需要花费 \(1\) 个 burl。注意，前 \(4\) 种循环移动操作是免费的，并且只能在执行异或操作之前进行。

请输出将矩阵 \(A\) 变为单位矩阵所需支付的最小 burl 数。单位矩阵是指主对角线上的元素全为 \(1\)，其余元素全为 \(0\)（即 \(A_{ij} = 1\) 当且仅当 \(i = j\)，否则 \(A_{ij} = 0\)）。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 \(t\)（\(1 \le t \le 10^4\)），表示测试用例的数量。

接下来是每个测试用例的描述。每个测试用例前有一个空行。

每个测试用例的第一行包含一个整数 \(n\)（\(1 \le n \le 2000\)）。

接下来有 \(n\) 行，每行恰好包含 \(n\) 个字符，仅由 \(0\) 和 \(1\) 组成，描述矩阵的元素值。

保证所有测试用例中 \(n^2\) 的总和不超过 \(4 \cdot 10^6\)。

输出格式

对于每个测试用例，输出将矩阵 \(A\) 变为单位矩阵所需支付的最小 burl 数。换句话说，输出在对矩阵进行循环移动后，使其变为单位矩阵所需的最小异或操作次数。

输入输出样例 #1

输入 #1

4

3
010
011
100

5
00010
00001
10000
01000
00100

2
10
10

4
1111
1011
1111
1111

输出 #1

1
0
2
11

说明/提示

在第一个测试用例中，你可以这样操作：首先将所有行循环下移一次，此时矩阵的主对角线全为 \(1\)。然后只需对唯一一个不在主对角线上的 \(1\) 执行一次异或操作。

在第二个测试用例中，你可以通过将矩阵循环上移两次来得到单位矩阵。

由 ChatGPT 4.1 翻译

算法分析

经观察可发现，列移动是可以完全被横移动覆盖的，也就是说，只需要横操作就可以了。现在考虑暴力，因为主对角线可以分解成两条方向相同的斜线，如下图，然后就可以\(O(n^2)\)暴力判断了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n;
int mx = 0;
int sum = 0;
int a[2005][2005];//矩阵
int main(){
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n;
		mx = 0;
		sum = 0;
		for(int i = 1; i<=n; i++){
			string s;
			cin>>s;
			for(int j = 1; j<=n; j++){
				a[i][j] = (s[j-1]-'0');
				sum+=a[i][j];//统计矩阵中1的个数
			}
		}
		for(int i = 0; i<n; i++){//暴力枚举
			int cnt = 0;
			for(int j = 1; j<=n; j++){
				int t = i+j;
				if(t>n){
					t-=n;
				}
				cnt+=a[j][t];
			}
			mx = max(cnt,mx);
		}
		cout<<n-mx+sum-mx<<'\n';//算答案
	}
	return 0;

总结

本体需要强大的观察能力，思路不难想，代码很好写，可以评黄。