洛谷 P10726 [GESP202406 八级] 空间跳跃

题目背景

对应的选择、判断题：https://ti.luogu.com.cn/problemset/1156

题目描述

小杨在二维空间中有 $n$ 个水平挡板，并且挡板之间彼此不重叠，其中第 $i$ 个挡板处于水平高度 $h_i$，左右端点分别位于 $l_i$ 与 $r_i$。

小杨可以在挡板上左右移动，当小杨移动到右端点时，如果再向右移动会竖直掉落，从而落到下方第一个挡板上，移动到左端点时同理。小杨在挡板上每移动 $1$ 个单位长度会耗费 $1$ 个单位时间，掉落时每掉落 $1$ 个单位高度也会耗费 $1$ 个单位时间。

小杨想知道，从第 $s$ 个挡板上的左端点出发到第 $t$ 个挡板需要耗费的最少时间是多少？

注意：可能无法从第 $s$ 个挡板到达到第 $t$ 个挡板。

输入格式

第一行包含一个正整数 $n$，代表挡板数量。

第二行包含两个正整数 $s,t$，含义如题面所示。

之后 $n$ 行，每行包含三个正整数 $l_i,r_i,h_i$，代表第 $i$ 个挡板的左右端点位置与高度。

输出格式

输出一个整数代表需要耗费的最少时间，如果无法到达则输出 $-1$。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

说明/提示

样例解释

耗费时间最少的移动方案为，从第 $3$ 个挡板左端点移动到右端点，耗费 $3$ 个单位时间，然后向右移动掉落到第 $2$ 个挡板上，耗费 $100000-6=99994$ 个单位时间，之后再向右移动 $1$ 个单位长度，耗费 $1$ 个单位时间，最后向右移动掉落到第 $1$ 个挡板上，耗费 $3$ 个单位时间。共耗费 $100001$ 个单位时间。

数据范围

子任务编号	数据点占比	$n$	特殊条件
$1$	$20\%$	$\leq 1000$	$l_i=1$
$2$	$40\%$	$\leq 1000$	$l_i=i,r_i=i+1$
$3$	$40\%$	$\leq 1000$

对于全部数据，保证有 $1\leq n\leq 1000$，$1\leq l_i\leq r_i\leq 10^5$，$1\leq h_i\leq 10^5$。

算法分析

这题有最短路的做法，但我是用DP做的，首先DP要有最优子结构、重叠子问题和无后效性三个要求，这一题都具备了，所以可以用DP，现在来考虑状态，因为每一个平台都有从右边下和从左边下，所以设$dp_i,_1$表示从平台$s$到平台$i$的最左边要多久，$dp_i,_2$表示从平台$s$到平台$i$的最右边要多久。状态设计出来了，先考虑转移，因为如果要下去，走左边和右边是没有区别的，所以就是状态转移方程就是

\[左侧\\ dp_j,_1 = min(dp_i,_1+a_i.l-a_j.l+a_i.h-a_j.h,dp_j,_1)\\ dp_j,_2 = min(dp_i,_1+a_j.r-a_i.l+a_i.h-a_j.h,dp_j,_2)\\ 右侧\\ dp_j,_1 = min(dp_i,_2+a_i.r-a_j.l+a_i.h-a_j.h,dp_j,_1)\\ dp_j,_2 = min(dp_i,_2+a_j.r-a_i.r+a_i.h-a_j.h,dp_j,_2) \]

当遍历到t的时候要求最小值。

坑点

由于是要求最小值，所以要初始化成极大值。
DP初始化是下标为$\ s\ $的，有左侧和右侧要初始化。
DP是从$\ s$ 到 $t\ $，其他的不必理会。
题目中没有说$\ h \ $有按降序输入，所以要排序。
排序后$\ s$ 和 $t\ $都改变了顺序，所以要重新算。
有无解的情况，要判断。
不开$long\ long$见祖宗。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
struct node{
	int l,r,h,id;
};
int n,s,t,x,y;
int mn = 1e12;
int dp[1005][5];
node a[1005];
bool cmp(node a,node b){
	if(a.h!=b.h){//排序规则
        return a.h>b.h;
    }else{
        return a.l<b.l;
    }
}
signed main(){	
    cin>>n>>s>>t;
    for(int i = 1; i<=n; i++){
    	cin>>a[i].l>>a[i].r>>a[i].h;
    	a[i].id = i;//编号
    	dp[i][1] = 1e12;//极大值
        dp[i][2] = 1e12;
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp);//排序
    for(int i = 1; i<=n; i++){
    	if(a[i].id==s){//重新算
            x = i;
        }if(a[i].id==t){
            y = i;
        }
    }
    dp[x][1] = 0;//初始化
    dp[x][2] = a[x].r-a[x].l;
    for(int i = x; i<=y; i++){//x到y
    	for(int j = i+1; j<=y; j++){
    		if(a[i].l>=a[j].l && a[i].l<=a[j].r && a[i].h>a[j].h){//满足条件
    			if(j==y){
                    mn = min(dp[i][1]+a[i].h-a[j].h,mn);//取最小值
                }
    			dp[j][1] = min(dp[i][1]+a[i].l-a[j].l+a[i].h-a[j].h,dp[j][1]);//转移
    			dp[j][2] = min(dp[i][1]+a[j].r-a[i].l+a[i].h-a[j].h,dp[j][2]);
    			break;//退出
    		}
    	}
    	for(int j = i+1; j<=y; j++){
    		if(a[i].r>=a[j].l && a[i].r<=a[j].r && a[i].h>a[j].h){//满足条件
    			if(j==y){
                    mn = min(dp[i][2]+a[i].h-a[j].h,mn);//取最小值
                }
    			dp[j][1] = min(dp[i][2]+a[i].r-a[j].l+a[i].h-a[j].h,dp[j][1]);//转移
    			dp[j][2] = min(dp[i][2]+a[j].r-a[i].r+a[i].h-a[j].h,dp[j][2]);
    			break;//退出
    		}
    	}
    }
    if(mn==1e12){
        cout<<-1;//无解
    }else{
        cout<<mn;
    }
    return 0;
}

总结

这题算是比较难的DP题了，状态和转移都很好想，但坑点较多，代码复杂难写，要调很久，算很难的绿题了。

posted @ 2026-08-24 20:25 xmgene 阅读(25) 评论(0) 收藏举报

刷新页面返回顶部

子任务编号	数据点占比	\(n\)	特殊条件
\(1\)	\(20\%\)	\(\leq 1000\)	\(l_i=1\)
\(2\)	\(40\%\)	\(\leq 1000\)	\(l_i=i,r_i=i+1\)
\(3\)	\(40\%\)	\(\leq 1000\)

xmgene