初探微积分

说在前面

微积分由于刚刚学习，所以趁着有印象赶快整理下来
本文章适合入门，其实文章里面大部分都是有关于导数的内容，积分内容只有两个

平均变化率

概念：一般的，已知函数y=f（x），x0，x1是其定义域不同的两点，记作： \(\Delta\) x=x1-x0
　　　\(\Delta\)y=y1-y0=f（x1）-f（x0）=f（x0+\(\Delta\)x）-f（x1）
　　　则当\(\Delta\)x!=0时，商\(\dfrac {\Delta y}{\Delta x}\)=\(\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}\)
　　　称函数y=f（x）在区间[x0,x0+\(\Delta\)x](或[x0+\(\Delta\)x,x0])的平均变化率

例题：1.求函数y=x^2在区间[x0,x0+\(\Delta\)x]的平均变化率

　　　2.求函数y=\(\dfrac {1}{x}\)在区间[x0,x0+\(\Delta\)x]的平均变化率

瞬时变化率

概念：当\(\Delta\)x趋近于0时，平均变化率\(\dfrac {\Delta y}{\Delta x}\)=\(\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}\)趋近于一个常数l
　　　那么称函数l为函数y=f（x）在点x0的瞬时变化率
记作：当\(\Delta\)x ——> 0时，\(\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}\) ——> l

　　　即\(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f_{c}\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}=l\)

f（x）在点x0处的导数

概念：函数y=f（x）在点x0的瞬时变化率
　　　通常称为f（x）在点x0处的导数，并记作\(f'\left( x_{0}\right)\)
\(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f_{c}\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}=f'\left( x_{0}\right)\)

导数定义

概念：如果f（x）在开区间（a，b）内每一点x都是可导的，称f（x）在区间（a，b）可导
　　　区间（a，b）的每个值都对应一个确定的导数\(f'\left( x\right)\)
　　　于是在区间（a，b）内，\(f'\left( x\right)\)可构成一个新函数
　　　称为y=f（x）的导函数，记作\(f'\left( x\right)\)通称导数
　　　
例题：1.火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100m/s
　　　试问熄火多长时间火箭上上速度为\(0\)
　　　
　　　2.圆S=π r^2，周长l=2πr求之间的关系

导数的几何意义

概念：通过直线和曲线图像我们可以得知两线有割线也有切线
　　　显然，我们可以知道割线的斜率就是平均变化率
　　　当割线成为切线的时候\(\Delta\)x ——>\(0\)，割线斜率趋近于切线斜率
　　　
　　　即\(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f_{c}\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}=f'\left( x_{0}\right)\)
　　　
例题：1.求抛物线\(y=x^{2}\)在点（x0，f（x0））的导数的切线的斜率等于\(f'\left( x_{0}\right)\)

　　　2.求双曲线\(y=\dfrac {1}{x}\)在点（2,1/2）的切线方程

导数的运算

常值函数的导数：
　　　　　　　　　\(y=f\left( x\right) \equiv c\)（c为常数）
　　　　　　　　　\(y'=f'\left( x\right) =C'=\lim _{\Delta x\rightharpoonup 0}\dfrac {c-c}{\Delta x}=0\)
根据以上的方法我们可以得到几个式子　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y=x　　　y'=x'=1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\(y=x^{2}\)　　　\(y=\left(x^{2}\right)'＝2x\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\(y=\dfrac {1}{x}\)　　　\(y'=-\dfrac {1}{x^{2}}\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\(y=x^{3}\)　　　\(y'=3x^{2}\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\(y=\sqrt {x}\)　　　\(y'=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {\sqrt {x_{0}+\Delta }x-\sqrt {x_{0}}}{\Delta x}\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

基本初等函数的公示表

导数的四则运算

1.函数和或差的求法

\(\left[ f\left( x\right) \pm g\left( x\right) \right] '=f'\left( x\right) \pm g'\left( x\right)\)

2.函数积的求法

\(\left[ t\left( x\right) \cdot g\left( x\right) \right] '=f'\left( x\right) \cdot g\left( x\right) +g'\left( x\right) \cdot f\left( x\right)\)

3.函数商的求法

\(\left[ \dfrac {f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\right]' =\dfrac {f'\left( x\right) g\left( x\right) -f\left( x\right) g'\left( x\right) }{g^{2}\left( x\right) }\)

利用导数判断函数的单调性

1.在区间（a，b）为$f'\left( x\right) $>0则f（x）在此区间为增函数，此区间为此函数的增区间

2.在区间（a，b）为$f'\left( x\right) $<0则f（x）在此区间为减函数，此区间为此函数的减区间

利用导数研究函数的极值

曲边梯形与定积分

微积分基本定理

补充:定积分