博弈论-策梅洛定理及证明

一、定理

策梅洛定理是博弈论中关于二人无偏博弈的定理，指出了无偏博弈的输赢是确定的，先行方或后行方必有一方存在必胜策略。所谓无偏博弈指的是：

（1）完全信息-双方可见全部游戏状态。

（2）有限操作：双方在自己回合只能采取有限的操作。

（3）有限步终止：游戏必须在有限步内结束，且有唯一胜者。

（4）对称性：双方可操作的集合是相同。

二、证明

（1）状态树

 无偏博弈的状态树描述了博弈双方状态转移过程，连线代表决策A，节点代表状态S。双方轮换决策，每一次决策A都使状态S发生转移，但无论如何最终的状态都是LOSE或WIN。

（2）染色规则与证明

1.与LOSE节点连接的节点都染为黑色，与WIN节点连接的节点都染为白色。

2.甲的决策回合：相连着的下一节点的颜色都为黑色，则 上一节点染为黑色。相连着的下一节点的颜色存在白色，则 上一节点染为白色。

乙的决策回合：相连着的下一节点的颜色都为白色，则 上一节点染为白色。相连着的下一节点的颜色存在黑色，则 上一节点染为黑色。

按此染色规则每个节点总会被染为黑或白，黑代表存在甲必败，而白代表存在甲必赢。因为根节点S1必被染色，意味着在初始状态时就存在着必输或必败策略。