Codeforces Round 958 (Div. 2) VP记录 (A~D)

vp只切了ABC，D想假了，还是太菜。

A

\([{\color{green} ▲ }]\) 签到

考虑每次都分出 \((k-1)\) 个 \(1\)，同时 \(n\) 减去 \((k-1)\)，每次元素个数的最大增量是 \((k-1)\)，所以该构造是最佳策略。

B

\([{\color{green} ▲ }]\) 结论

只要某个时间点 \(c1 > c0\)，整个序列就可以变换为 \([1]\)，发现 \(0\) 和 \(1\) 的个数在操作后是单调不增的，尽可能减少 \(0\)的个数，将一段连续的 \(0\) 变为一个 \(0\)，最后判断 \(c1 > c0\) 即可。

C

\([{\color{green} ▲ }]\) 二进制（码了很久）

顺序不好构造，第一个数难确定，考虑倒序构造，根据 \(a_{i+1}\) 构造 \(a_i\)。

最后一项一定是 \(n\)，记 \(n\) 中从高到低各二进制位为 \(2 ^ k_0, 2 ^ k_1 \ldots(k_0 > k_1 > ⋯)\)，则一种显然的构造是：

\[n - 2 ^ k_0, n − 2_k1, \dots, n \]

D

\([{\color{red} \times }]\) 树形DP

假设总共 \(L\) 回合结束，设怪物 \(i\) 在 $b_i(\(1 \le b_i \le L\))$ 回合被杀死，满足相邻两个节点 \(b_i\) 不同，，最小化：

\[\sum^{n}_{i=1}{b_i \times a_i} \]

可以简单想到 \(O(n L^2)\) 的树形dp，设 \(f_{u,i}\) 表示节点 \(u\) 在第 \(i\) 回合被杀死，以 \(u\) 为根的子树价值之和的最小值，初始化 \(f_{u,0}=0\)，则有转移：

\[f_{u,i}=i \times a_u + \sum_{v \in son(u)} \min_{j \ne i}{f_{v,j}} \]

答案即为：

\[\min_{1 \le i \le L}{f_{1,i}} \]

转移的时候前缀最值优化一下可以变成 \(O(nL)\)。

可以证明 \(L \le \lfloor \log_2{n} \rfloor + 1\)，证明详见官方题解：https://codeforces.com/blog/entry/131567/