例说Hausdorff距离

       给定欧氏空间中的两点集 ， ，Hausdorff距离就是用来衡量这两个点集间的距离。

　　其中， ， 。 称为双向Hausdorff距离， 称为从点集A到点集B的单向Hausdorff距离。相应地 称为从点集B到点集A的单向Hausdorff距离。

       下面从一个例子来理解Hausdorff距离。

　　　

　　上图中，给出了A,B,C,D四条路径，其中路径A具体为（16-17-18-19-20），路径B具体为（1-2-3-4-9-10）。要求Hausdorff距离 ，则需要先求出单向Hausdorff距离 和 。

　　对于 ，以A中的点16为例，在路径B中的所有点中，距离点16最近的是点1，距离为3。即 。同理由图可得 ， ， ， 。在它们中，值最大的为3，故 。

　　同理可得， 。

　　所以 。

　　同理可求出上图中四条路径间的单向Hausdorff距离如下表所示：

　　

 

　　双向Hausdorff距离 是单向Hausdorff距离 和 两者中的较大者，显然它度量了两个点集间的最大不匹配程度。

　　

　　当A,B都是闭集的时候，Hausdorff距离满足度量的三个定理：

　　(1) ，当且仅当A=B时， 。

　　(2)     

　　(3)     

　　

　　若凸集A,B满足 且 ，并记 ， 分别为A,B边界的点集合，则A,B的Hausdorff距离等于 ， 的Hausdorff距离。

 

　　Hausdorff距离易受到突发噪声的影响。

　　

　　当图像受到噪声污染或存在遮挡等情况时，原始的Haudorff距离容易造成误匹配。所以，在1933年，Huttenlocher提出了部分Hausdorff距离的概念。

　　简单地说，包含q个点的集合B与集合A的部分Hausdorff距离就是选取B中的K（ 且 ）个点，然后求这K个点到A集合的最小距离并排序，则排序后的第K个值就是集合B到集合A的部分单向Hausdorff距离。定义公式如下：

　　相应地，部分双向Hausdorff距离定义为：