线性代数笔记

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1、发明行列式的最初目的是?

 

2、对角线法则适用范围?

 

3、解释向量加法定义的合理性。

 

4、递归实现行列式计算。

 

5、线性代数围绕哪两种基本运算?

 

6、线性代数为数据分析提供了一条将大量数据列表概念化、可视化的渠道；为物理学家和计算机图形程序员提供了一种语言，让他们通过计算机能处理的数字来描述并操纵空间。

 

7、“缩放向量并且相加”这一概念为什么至关重要?

 

8、基向量指的是?它们是拿来干嘛的?

 

9、每当我们用数字来描述向量时，都依赖于我们正在使用的基。

 

10、两个向量的张成空间实际上是说它们通过向量的两种基本运算所能构成的所有向量的集合。

 

11、当你只考虑一个向量的时，就把它当成箭头，当你考虑一些向量的时候，就把它们看做一些点。

 

12、向量张成空间:当你缩放第三个向量的时，它将前两个向量张成的平面沿它的方向来回移动，从而扫过整个空间。

 

13、对向量张成空间已经没有贡献的向量和张成空间的向量间的关系，相关术语称它们是“线性相关”的。(前者已经落在了后者的张成空间中)

 

14、向量空间的一个基是张成该空间的一个线性无关的向量集。(一组线性无关的向量)

 

15、“变换”本质上是“函数”的一种花哨的说法。

 

16、如何得到线性变换的结果呢?实际上，只需要记录i帽和j帽的落脚位置就够了，其他向量都会随之而动。

 

17、矩阵有时只是一个描述线性变换的记号，矩阵向量乘法就是计算线性变换作用于给定向量的一种途径。

 

18、严格意义上讲，线性变换是将向量作为输入和输出的一类函数。

 

19、计算的目的不在于数字本身，而在于洞察其背后的意义。

 

20、线性变换的行列式。

 

21、所以A逆的核心性质在于:A逆乘以A等于一个“什么都不做”的矩阵。

 

22、一旦你找到了A的逆，你就能在两边同乘A的逆矩阵来求解向量方程。

 

23、det(A)=0与A没有逆矩阵完全等价，因为A的放大率为0，你不能指望将一条线解压成一个平面。

 

24、对于线性方程组而言，det(A)=0时解有可能仍然存在，比如等式右边向量恰好落在线性变换压缩成的直线上。

 

25、秩是用来描述线性变换的，一个线性变换的秩为1意味着其变换结果的维度为1(一条直线)。

 

26、“秩(rank)”代表着线性变换后空间的维数。

 

27、列空间就是线性变换后基向量张成的空间。所以，一个线性变换的秩也可以说是列空间的维数。

 

28、在变换后落在原点的向量集合被称为所选矩阵的“零空间”或“核”。

 

29、几何水平理解线性方程组的一个高水平概述：每个方程组都有一个线性变换与之联系，当逆变换存在时，你就能用这个逆变换求解方程组；否则，列空间的概念让我们清楚什么时候解存在；零空间的概念有助于理解所有可能解的集合是什么样的。

 

30、为什么说“只有以线性变换的角度才能真正理解点积（dot products，就是我们高中所学的“向量的数量积”）”？

 

31、为什么点积与顺序无关？

 

32、表面上看，点积是理解投影的有利几何工具，并且方便检验两个向量的指向是否相同，这大概是你需要记住的的点积中最重要的部分。不过更进一步讲，两个向量点乘，就是将其中一个向量转化为线性变换（可以想象一下二维向量的点乘）。同样，在数值上强调它可能显得没有意义，因为只是两种看上去恰好相似计算过程而已，但是我认为这一过程非常重要，因为从始至终你都在和向量打交道，一旦你真正了解了向量的“个性”，有时你就会意识到，不把它看作空间中的箭头，而把它看作线性变换的载体，会更容易理解向量。