算法题-魔方矩阵问题

49.Algorithm Gossip: 奇数魔方阵

说明

将1到n(为奇数)的数字排列在nxn的方阵上，且各行、各列与各对角线的和必须相同，如下所示：

解法

填魔术方阵的方法以奇数最为简单，第一个数字放在第一行第一列的正中央，然后向右(左)上填，如果右(左)上已有数字，则向下填，如下图所示：

一般程序语言的阵列索引多由0开始，为了计算方便，我们利用索引1到n的部份，而在计算是向右(左)上或向下时，我们可以将索引值除以n值，如果得到余数为1就向下，否则就往右(左)上，原理很简单，看看是不是已经在同一列上绕一圈就对了。

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#define N 5 
int main(void) { 
    int i, j, key; 
    int square[N+1][N+1] = {0}; 
    i = 0; 
    j = (N+1) / 2; 
    for(key = 1; key <= N*N; key++) { 
        if((key % N) == 1) 
            i++; 
        else { 
            i--; 
            j++; 
        } 
        if(i == 0) 
            i = N; 
        if(j > N) 
            j = 1; 
        square[i][j] = key; 
    } 
    for(i = 1; i <= N; i++) { 
        for(j = 1; j <= N; j++) 
            printf("%2d ", square[i][j]); 
    } 
    return 0; 
}

50.Algorithm Gossip: 4N 魔方阵

说明

与 奇数魔术方阵 相同，在于求各行、各列与各对角线的和相等，而这次方阵的维度是4的倍数。

解法

先来看看4X4方阵的解法：

简单的说，就是一个从左上由1依序开始填，但遇对角线不填，另一个由左上由16开始填，但只填在对角线，再将两个合起来就是解答了；如果N大于2，则以 4X4为单位画对角线：

至于对角线的位置该如何判断，有两个公式，有兴趣的可以画图印证看看，如下所示：

左上至右下：j % 4 == i % 4

右上至左下：(j % 4 + i % 4) == 1

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#define N 8 
int main(void) { 
    int i, j; 
    int square[N+1][N+1] = {0}; 
    for(j = 1; j <= N; j++) { 
        for(i = 1; i <= N; i++){ 
            if(j % 4 == i % 4 || (j % 4 + i % 4) == 1) 
                square[i][j] = (N+1-i) * N -j + 1; 
            else 
                square[i][j] = (i - 1) * N + j; 
        } 
    } 
    for(i = 1; i <= N; i++) { 
        for(j = 1; j <= N; j++) 
            printf("%2d ", square[i][j]); 
        printf("\n"); 
    } 
    return 0; 
}

51.Algorithm Gossip: 2(2N+1) 魔方阵

说明

方阵的维度整体来看是偶数，但是其实是一个奇数乘以一个偶数，例如6X6，其中6=2X3，我们也称这种方阵与单偶数方阵。

解法

如果您会解奇数魔术方阵，要解这种方阵也就不难理解，首先我们令n=2(2m+1)，并将整个方阵看作是数个奇数方阵的组合，如下所示：

首先依序将A、B、C、D四个位置，依奇数方阵的规则填入数字，填完之后，方阵中各行的和就相同了，但列与对角线则否，此时必须在A-D与C- B之间，作一些对应的调换，规则如下：

将A中每一列(中间列除外)的头m个元素，与D中对应位置的元素调换。

将A的中央列、中央那一格向左取m格，并与D中对应位置对调

将C中每一列的倒数m-1个元素，与B中对应的元素对调

举个实例来说，如何填6X6方阵，我们首先将之分解为奇数方阵，并填入数字，如下所示：

接下来进行互换的动作，互换的元素以不同颜色标示，如下：

由于m-1的数为0，所以在这个例子中，C-B部份并不用进行对调。

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#define N 6 
#define SWAP(x,y) {int t; t = x; x = y; y = t;} 
void magic_o(int [][N], int); 
void exchange(int [][N], int); 
int main(void) { 
    int square[N][N] = {0}; 
    int i, j; 
    magic_o(square, N/2); 
    exchange(square, N); 
    for(i = 0; i < N; i++) { 
        for(j = 0; j < N; j++) 
            printf("%2d ", square[i][j]); 
        printf("\n"); 
    } 
    return 0; 
} 
void magic_o(int square[][N], int n) { 
    int count, row, column; 
    row = 0; 
    column = n / 2; 
    for(count = 1; count <= n*n; count++) { 
        square[row][column] = count; // 填A 
        square[row+n][column+n] = count + n*n; // 填B 
        square[row][column+n] = count + 2*n*n; // 填C 
        square[row+n][column] = count + 3*n*n; // 填D 
        if(count % n == 0) 
            row++; 
        else { 
            row = (row == 0) ? n - 1 : row - 1 ; 
            column = (column == n-1) ? 0 : column + 1; 
        } 
    } 
} 
void exchange(int x[][N], int n) { 
    int i, j; 
    int m = n / 4; 
    int m1 = m - 1; 
    for(i = 0; i < n/2; i++) { 
        if(i != m) {
            for(j = 0; j < m; j++) // 处理规则 1 
                SWAP(x[i][j], x[n/2+i][j]); 
            for(j = 0; j < m1; j++) // 处理规则 2 
                SWAP(x[i][n-1-j], x[n/2+i][n-1-j]); 
        } 
        else { // 处理规则 3 
            for(j = 1; j <= m; j++) 
                SWAP(x[m][j], x[n/2+m][j]); 
            for(j = 0; j < m1; j++) 
                SWAP(x[m][n-1-j], x[n/2+m][n-1-j]); 
        } 
    } 
}