1282: 排列计数 perm

题目描述

称一个$1,2,...,N$的排列$P_1,P_2...,P_n$是$Magic$的，当且仅当$2<=i<=N$时，$P_i>P_{i/2}$. 计算$1，2，...N$的排列中有多少是$Magic$的，答案可能很大，只能输出模$P$以后的值
$1≤N≤10^6,P≤10^9$

题解

可以转化成小根堆，$x$的左右儿子为$2x$和$2x+1$
考虑$dp$，设$f_i$表示以$i$为根，用$1$到$size_i$来填充且合法的方案数
容易得到根最小，所以要从$size_i-1$个数中选出$size_{2i}$个数给左儿子，所以可以得到转移式子：$f_i=C_{size_i-1}^{size_{2i}}*f_{2i}*f_{2i+1}$
上代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,f[N],jc[N],ny[N],p,sz[N];
int K(int x,int y){
    int A=1;while(y){
        if (y&1) A=1ll*A*x%p;
        x=1ll*x*x%p;y>>=1;
    }return A;
}
int C(int x,int y){
    return 1ll*jc[x]*ny[y]%p*ny[x-y]%p;
}
void dfs(int x){
    sz[x]=1;int l=x<<1,r=l|1;
    if (l<=n) dfs(l),sz[x]+=sz[l];
    if (r<=n) dfs(r),sz[x]+=sz[r];
    if (sz[x]<3){f[x]=1;return;}
    f[x]=1ll*C(sz[x]-1,sz[l])*f[l]%p*f[r]%p;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&p);
    jc[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) jc[i]=1ll*i*jc[i-1]%p;
    ny[n]=K(jc[n],p-2);for (int i=n;i;i--) ny[i-1]=1ll*i*ny[i]%p;
    dfs(1);printf("%d\n",f[1]);
    return 0;
}