RMQ ST算法

概述:

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题，下面介绍一下解决这两种问题的比较高效的算法。当然，该问题也可以用线段树（也叫区间树）解决，算法复杂度为：O(N)~O(logN)，这里我们暂不介绍。

RMQ算法

对于该问题，最容易想到的解决方案是遍历，复杂度是O(n)。但当数据量非常大且查询很频繁时，该算法无法在有效的时间内查询出正解。
本节介绍了一种比较高效的在线算法（ST算法）解决这个问题。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

主要思想：倍增

预处理
倍增,f[i][j]表示从i出发长度为2^{j的数列的最大值.则f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2}(j-1)][j-1])
查询
假如我们需要查询的区间为[i,j]，那么我们只需要找到能覆盖这个闭区间的若干区间取最大值即可。
最合适的就是取两个区间，比如查询[5,9]，我们可以查询\([5,8]和[6,9]\)(左边界取i，右边界取j)的最小幂。
因为区间\([i,j]\)的长度为j - i + 1,所以我们可以取\(k=log_2( j - i + 1)\)，则有：RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。

代码:

void initRMQ()
{
	rep(j,1,16)
		rep(i,1,N)
			f[i][j] = max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
int RMQ(int m,int l,int r)
{
	int tmp = log2(r-l+1);
	return max(f[l][tmp],f[r-(1<<tmp)+1][tmp]);
}