hdu 4370(最短路+思维)

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4370

 

题意：给出一个n×n的矩阵，求一个符合题意的n×n的只含有0和1的矩阵，使得两个矩阵位置对应的元素相乘后和最小。

题意要求01矩阵：

1. X₁₂+X₁₃+...+X_1n=1

2.X₁₄+X₂₄+...+X_(n-1)n=1

3.∑X_ki (1<=k<=n)=∑X_ij (1<=j<=n).（1<i<n）

 

思路：将X_ij看作点i到点j的路的花费，所以可以转换成一个图来作。而条件可以认为是

1.点1出度为1，即一定有一条从点1出发的路。

2.点n入度为1，即一定有一条到点n的路。

3.其他点的出度入度相等。即一定有1到n的路或者有1自环和n自环。为什么？

 

而求得的01矩阵乘以原矩阵，可以看作1为走这条路，0为不走。

因为点1的出度为1（条件一），那么一定要到另一个点，如果是到点n即求一条最短路。否则到其他点，而其他点出入度要相同（条件三），这时需要这个点一定有出去的边，到n就有最短路,到1就有1自环，到其他点(最终都是要到1,n的)。而点n一定要有入度（条件二）则情况一样的，一定有1到n的路或则有n的自环。

 

所以需要计算1到n的最短路，1自环和n自环的总值，两者最小就为答案，即计算一遍起点为1的d1[n],d1[1],再计算一遍起点为n的d2[n],ans=min(d1[n],d2[1]+d2[n]);

值得注意的是这里的最短路写法(spfa)有点不一样,因为要算起点自环的花费,所以初始化d[strat]=inf，不能为d[strat]=0，这样第一遍更新找其他点到起点的距离d就更新不了。那么可以这样：自己更新第一次，手动将所有的点都加入队列即可。

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=310;
int map[maxn][maxn],d[maxn],visit[maxn];
int n;

void spfa(int u){
    queue<int> q;
    memset(visit,0,sizeof(visit));
    for(int i=1;i<=n;i++){//初始化 
        if(i==u)
            d[i]=inf;
        else{
            d[i]=map[u][i];
            q.push(i);//手动更新第一次找最短路 
            visit[i]=1;
        }
    }
    while(!q.empty()){
        int t=q.front();
        q.pop();
        visit[t]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(d[i]>d[t]+map[t][i]){
                d[i]=d[t]+map[t][i];
                if(!visit[i]){
                    visit[i]=1;
                    q.push(i);
                }
            }
        }
    }
}

int main(){
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++)
                scanf("%d",&map[i][j]);
        } 
        spfa(1);
        int ans=d[n];//1到n的最短 
        int d1=d[1];//1自环 
        spfa(n);
        int d2=d[n];//n自环 
        printf("%d\n",min(ans,d1+d2));
    }
    
    return 0;
}