动态规划——猴子

Description

在hphp还没有电脑的时候，手机是她唯一的娱乐工具，最喜欢玩的游戏就是猴子，猴子的行动范围是在n(n<=100)根水平排列的柱子的底端上，并且以坐虫子为快乐。每坐到一个虫子他就快乐一点。可是他的快乐是有极限的，因为他只能水平的在相邻的柱子间移动，并且移动一次时间是1s，如果在时间t(0<=t<=10000)猴子刚好在柱子m（1<=m<=n）上并且此时m上恰好会出现一只虫子，那么猴子就可以坐到它了。现在猴子最初(0s)在1号柱子上,在t时间m柱子上是否能有虫子以一个矩阵给出。猴子想要最快乐，你是否能够帮助它呢~

Input

多组测试数据，每组测试数据首先给出整数n，t (0<n<=100，0<=t<=10000)占一行。n表示总共有多少柱子，t表示游戏结束的时间，t时间猴子就不可以再坐虫子咯。接下来有n行，每行有t个整数（0或1）T0,T2....Tt-1。第i行第j个数字表示第i个柱子在j时间是否有虫子出现。

Output

对于每组测试数据输出一个整数，表示猴子快乐的最大点数。

Sample Input

3 4
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1
3 4
1 0 1 0
1 1 1 0
1 1 1 1
1 5
1 0 1 0 1

Sample Output

2
4
3

思路引导

（1）首先一定和所在柱子有关系

（2）和时间也有关系

（3）显然在条件确定的情况下是满足最优子结构的，即可以用dp解决

解题报告

 用max[i][j]表示在第i时间在第j个柱子上时能得到的最大的幸福值；grid[i][j]表示第i时间第j柱子是否有虫子。那么mx[i][j]=Max(mx[i-1][j-1],m[i-1[j],mx[i-1][j+1])+grid[j][i].边界问题要特别注意。

源代码：

#include<stdio.h>
#define MAX (1<<29)
#define N 110
#define T 10100
#define Max(a,b,c) (((a)>(b)?(a):(b))>(c)?((a)>(b)?(a):(b)):(c))//找出三个数中最大的数
int mx[T][N], //mx[i][j]表示在第i时间在第j个柱子上时能够得到的最大的幸福值
 grid[N][T]; //grid[i][j]表示第i时间在第j个柱子上是否有虫子
int n,   //表示共有多少个柱子
 limt;  //表示游戏结束的时间

int main()
{
 while(scanf("%d %d",&n,&limt)!=EOF)
 {
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
   for(int j=0;j<limt;j++)
   {
    scanf("%d",&grid[i][j]);
   }
  }
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
   for(int j=0;j<limt;j++)
    mx[j][i]=-MAX; //赋初值
  }

  mx[0][1] = grid[1][0]; //若第一个柱子在第一秒有虫子，则至少可琢一个虫子
  for(int i=1;i<limt;i++)
  {
   for(int j=1;j<=n&&j<=i+1;j++)
   {
    int a=-MAX,b=-MAX,c=-MAX;//a、b、c分别表示相邻三根柱子上获得最大幸福值
    if(j>1)  //考虑左边界问题
     a=mx[i-1][j-1];
    b=mx[i-1][j];
    if(j<n)  //考虑右边界问题
     c=mx[i-1][j+1];
    mx[i][j]=Max(a,b,c)+grid[j][i];
   }
  }
  int mxmx=0;
  for(int i=1;i<=n;i++)
   if(mx[limt-1][i]>mxmx)
    mxmx=mx[limt-1][i];
  printf("%d\n",mxmx);
 }
 return 0;
}