约瑟夫环——递推公式

递推公式：
                                          f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N

• f(N,M)表示，N个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终
• f(N−1,M)表示，N-1个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号

• 现在假设有10个人，报到3的人就会被杀掉，我们用数字给这十个人编号为

                        1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
4	5	6	7	8	9	10	1	2
7	8	9	10	1	2	4	5
10	1	2	4	5	7	8
4	5	7	8	10	1
8	10	1	4	5
4	5	8	10
10	4	5
10	4
4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第·一行绿色那行是数组下标，第二行是每个人的编号

现在逆向推导

• f(1,3):只剩最后一个人，胜利者的数组下标为0
• f（2,3）=(f(1,3)+3)%2=1,只有两个人的时候，胜利者下标为1
• 。。。。。。
• f（10,3）=3，因为我们数组下标是从0开始的，所以人的编号是下标+1，也就是4

那么这个公式是怎么推导的呢？

1.假设我们已经知道了10个人时，胜利者的下标为3，那下一次9个人时，胜利者的下标为多少？

其实就是10个人时杀掉了编号为3（即数组下标为2）的人后，后面的人都往前移动了3位，所以胜利者的下标由3变成了0

2.那我们倒过来我们知道9个人时，胜利者的下标为0，那10个人时胜利者的下标为多少？

其实这和上面的问题一样，这是这是上个问题的逆过程，就是把大家都往后移动3位，所以f(10,3)=f(9,3)+3,不过可能会出现数组越界所以要取模变成f（10,3）=（f（9,3）+3）%10

3.那么人数改为n报到m时就杀掉数组怎么移动呢

一样的，杀一人则后面的人的下标都往前移动m则，f（n，m）=（f（n-1，m）+m）%n