01 背包的变形

消失之物

链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4141

题目描述

ftiasch 有 \(n\) 个物品, 体积分别是 \(w_1,w_2,\dots,w_n\)。由于她的疏忽，第 \(i\) 个物品丢失了。

“要使用剩下的 \(n-1\) 物品装满容积为 \(x\) 的背包，有几种方法呢？”——这是经典的问题了。

她把答案记为 \(\text{cnt}(i,x)\) ，想要得到所有\(i \in [1,n]\), \(x \in [1,m]\) 的 \(\text{cnt}(i,x)\) 表格。

输入格式

第一行两个整数 \(n,m\)，表示物品的数量和最大的容积。
第二行 \(n\) 个整数 \(w_1,w_2,\dots,w_n\)，表示每个物品的体积。

输出格式

输出一个 \(n \times m\) 的矩阵，表示 \(\text{cnt}(i,x)\) 的末位数字。

样例 #1

样例输入 #1

3 2
1 1 2

样例输出 #1

11
11
21

提示

【数据范围】
对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le n,m \le 2000\)，且 \(1\le v_i\le m\)。

【样例解释】
如果物品 3 丢失的话，只有一种方法装满容量是 2 的背包，即选择物品 1 和物品 2。

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\(\text{upd 2023.8.11}\)：新增加五组 Hack 数据。

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解答

• f[j][0]：表示未删物品前的，组成体积为 j 的方案数
• f[j][1]：表示删除某个物品，组成体积为 j 的方案数
• 前者就是一个 01 背包问题
• 后者状态转移主要是 f[j][1] = f[j][0] - f[j - v[i]][1]
• 解释：因为f[j][0]表示未删，多了部分，需要删除一些，所以枚举每个物品，表示可能删除的，假设当前物品为 i ，f[j - v[i]][1] 表示的是组成体积 j - v[i] 且前面已经删除一个数了
• 而这个体积只要加上 v[i] ，也就是选这个 i 物品，便可组成体积 j ，我们枚举的也就是删除 i 物品的方案，所以需要删除这一部分
• 下述 %10 的原因是题目要求输出末尾数字即可

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 2010;
int v[N];
int f[N][2];
int n, m;

int main()
{
	cin >> n >> m;

	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i];

	f[0][0] = f[0][1] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = m; j >= v[i]; j--)
		{
			f[j][0] += f[j - v[i]][0];
			f[j][0] %= 10;
		}

	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= m; j++)
		{
			if (j >= v[i]) f[j][1] = (f[j][0] - f[j - v[i]][1] + 10)  % 10;
			else f[j][1] = f[j][0];
			cout << f[j][1];
		}
		cout << endl;
	}
	
	return 0;
}