欧拉函数

欧拉函数通项

\(\varphi(n)=n\prod\limits_{i=1}^n (1- \dfrac{1}{p_i})\)

常用性质

• 当 \(n\) 为质数时，\(\varphi(n)=n-1\)

• 当 \(gcd(n,m)=1\) 时 \(\varphi(nm)=\varphi(n) * \varphi(m)\)

• \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)

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欧拉反演

\(n=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\)

证明：

令 \(f(n)=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\)

$ f(n)* f(m)=\sum\limits_{i|n}\sum\limits_{j|m}\varphi(i)* \varphi(j)
=\sum\limits_{ij|nm}\varphi(ij)=f(nm) $

\(f(p^k)=\varphi(p^0)+\varphi(p^1)+...+\varphi(p^k)\)

\(\qquad\ \ =1+(p^1-1)+...+(p^k-p^{k-1})\)

\(\qquad\ \ =p^k\)

\(f(n)=f(p_1^{k_1})f(p_2^{k_2})...f(p_n^{k_n})=n\)

\(n=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\)

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扩展欧拉定理

\( a^b \equiv \begin{cases} a^{b \bmod \varphi(m)}, &\gcd(a,m) = 1, \\ a^b, &\gcd(a,m)\ne 1, b < \varphi(m), \\ a^{(b \bmod \varphi(m)) + \varphi(m)}, &\gcd(a,m)\ne 1, b \ge \varphi(m). \end{cases} \pmod m \)