第二章作业

1. 自然语言描述：
   在数组 A[l..r]中找第 k 小的数：
   若区间只有一个元素，直接返回它。
   选择一个枢轴元素 pivot。
   将区间划分为三部分：小于 pivot、等于 pivot、大于 pivot。
   设小于 pivot 的元素个数为 less，等于 pivot 的个数为 equal。
   若 k≤less，说明第 k 小在“小于 pivot”部分，递归到该部分找第 k 小；
   若 less<k≤less+equal，说明第 k 小就是 pivot，直接返回；
   若 k>less+equal，说明第 k 小在“大于 pivot”部分，递归到该部分找第 k−(less+equal) 小。

2. 最好时间复杂度
   最好情况下，每次选择的枢轴都接近中位数，或者第一次就正好找到第 k 小。
   若每次目标所在的子问题规模大约减半，则有：
   T(n)=T(n/2)+O(n)
   展开得：
   T(n)=O(n)+O(n/2)+O(n/4)+⋯=O(n)
   所以最好时间复杂度为： O(n)

3. 最坏时间复杂度
   最坏情况下，每次选择的枢轴都是当前区间的最小值或最大值，并且目标元素在较大的那一侧。
   例如数组已经有序，每次选第一个元素作为枢轴，并且要找最大值，则每次只能排除一个元素：
   T(n)=T(n−1)+O(n)
   展开得：
   T(n)=O(n)+O(n−1)+⋯+O(1)=O(n * n)
   所以最坏时间复杂度为： O (n * n)

4. 对分治法的体会和思考
   找第 k 小问题很好地体现了分治法的核心思想：分解、解决、合并。不过它与归并排序、快速排序不同，因为划分之后并不需要同时递归处理左右两个子问题，而只需要根据 k 的位置进入其中一个子问题。因此，它更像是一种“减治”策略：每次把问题规模缩小，而不是把两个子问题的结果合并起来。
   我从中体会到几点：
   <1> 划分是分治法的关键。
   如果划分得比较平衡，问题规模快速缩小，复杂度可以降到线性；如果划分极不平衡，算法就退化成线性扫描的嵌套，最坏达到 O(n * n)
   <2> 分治法不一定都要“合并”。
   归并排序需要合并两个有序子数组，而找第 k 小只需递归一侧，合并代价为 0。这说明分治法的形式可以很灵活。