决策树
决策树
决策树是附加概率结果的一个树状的决策图，是直观的运用统计概率分析的图法。机器学习中决策树是一个预测模型，它表示对象属性和对象值之间的一种映射，树中的每一个节点表示对象属性的判断条件，其分支表示符合节点条件的对象。树的叶子节点表示对象所属的预测结果。
1、举个例子认识一下：
这是一棵结构简单的决策树，用于预测贷款用户是否具有偿还贷款的能力。贷款用户主要具备三个属性：是否拥有房产，是否结婚，平均月收入。每一个内部节点都表示一个属性条件判断，叶子节点表示贷款用户是否具有偿还能力。例如：用户甲没有房产，没有结婚，月收入 5K。通过决策树的根节点判断，用户甲符合右边分支 (拥有房产为“否”)；再判断是否结婚，用户甲符合左边分支 (是否结婚为否)；然后判断月收入是否大于 4k，用户甲符合左边分支 (月收入大于 4K)，该用户落在“可以偿还”的叶子节点上。所以预测用户甲具备偿还贷款能力。
2、决策树构建基本步骤
1） 开始，所有记录看作一个节点
2）遍历每个变量的每一种分割方式，找到最好的分割点
3）分割成两个节点N1和N2
4) 对N1和N2分别继续执行2-3步，直到每个节点足够“纯”为止
决策树的变量可以有两种：
1） 数字型（Numeric）：变量类型是整数或浮点数，如前面例子中的“年收入”。用“>=”，“>”,“<”或“<=”作为分割条件（排序后，利用已有的分割情况，可以优化分割算法的时间复杂度）。
2） 名称型（Nominal）：类似编程语言中的枚举类型，变量只能重有限的选项中选取，比如前面例子中的“婚姻情况”，只能是“单身”，“已婚”或“离婚”。使用“=”来分割。
如何评估分割点的好坏？如果一个分割点可以将当前的所有节点分为两类，使得每一类都很“纯”，也就是同一类的记录较多，那么就是一个好分割点。比如上面的例子，“拥有房产”，可以将记录分成了两类，“是”的节点全部都可以偿还债务，非常“纯”；“否”的节点，可以偿还贷款和无法偿还贷款的人都有，不是很“纯”，但是两个节点加起来的纯度之和与原始节点的纯度之差最大，所以按照这种方法分割。构建决策树采用贪心算法，只考虑当前纯度差最大的情况作为分割点。
如何量化纯度呢？如果记录被分为n类，每一类的比例P(i)=第i类的数目/总数目。如果10个数据中可以偿还债务的记录比例为P(1) = 7/10 = 0.7，无法偿还的为P(2) = 3/10 = 0.3，N = 2。以下有三种方法：
1）Gini不纯度
2)熵（Entropy）
3)错误率
上面的三个公式均是值越大，表示越 “不纯”，越小表示越“纯”。三种公式只需要取一种即可，实践证明三种公司的选择对最终分类准确率的影响并不大，一般使用熵公式。
纯度差，也称为信息增益（Information Gain），公式如下：
其中，I代表不纯度（也就是上面三个公式的任意一种），K代表分割的节点数，一般K = 2。vj表示子节点中的记录数目。上面公式实际上就是当前节点的不纯度减去子节点不纯度的加权平均数，权重由子节点记录数与当前节点记录数的比例决定。举个例子帮助认识一下信息熵：
属性选择度量算法有很多，一般使用自顶向下递归分治法，并采用不回溯的贪心策略。这里介绍ID3和C4.5两种常用算法。
1）ID3算法
从信息论知识中我们直到，期望信息越小，信息增益越大，从而纯度越高。所以ID3算法的核心思想就是以信息增益度量属性选择，选择分裂后信息增益最大的属性进行分裂。下面先定义几个要用到的概念。
设D为用类别对训练元组进行的划分，则D的熵（entropy）表示为：
其中pi表示第i个类别在整个训练元组中出现的概率，可以用属于此类别元素的数量除以训练元组元素总数量作为估计。熵的实际意义表示是D中元组的类标号所需要的平均信息量。
现在我们假设将训练元组D按属性A进行划分，则A对D划分的期望信息为：
而信息增益即为两者的差值：
ID3算法就是在每次需要分裂时，计算每个属性的增益率，然后选择增益率最大的属性进行分裂。
2）C4.5算法
ID3算法存在一个问题，就是偏向于多值属性，例如，如果存在唯一标识属性ID，则ID3会选择它作为分裂属性，这样虽然使得划分充分纯净，但这种划分对分类几乎毫无用处。ID3的后继算法C4.5使用增益率（gain ratio）的信息增益扩充，试图克服这个偏倚。
C4.5算法首先定义了“分裂信息”，其定义可以表示成：
其中各符号意义与ID3算法相同，然后，增益率被定义为：
C4.5选择具有最大增益率的属性作为分裂属性，其具体应用与ID3类似，不再赘述。
3、停止条件
决策树的构建过程是一个递归的过程，所以需要确定停止条件，否则过程将不会结束。一种最直观的方式是当每个子节点只有一种类型的记录时停止，但是这样往往会使得树的节点过多，导致过拟合问题（Overfitting）。另一种可行的方法是当前节点中的记录数低于一个最小的阀值，那么就停止分割，将max(P(i))对应的分类作为当前叶节点的分类。
4、过渡拟合
采用上面算法生成的决策树在事件中往往会导致过滤拟合。也就是该决策树对训练数据可以得到很低的错误率，但是运用到测试数据上却得到非常高的错误率。过渡拟合的原因有以下几点：
- 噪音数据：训练数据中存在噪音数据，决策树的某些节点有噪音数据作为分割标准，导致决策树无法代表真实数据。
- 缺少代表性数据：训练数据没有包含所有具有代表性的数据，导致某一类数据无法很好的匹配，这一点可以通过观察混淆矩阵（Confusion Matrix）分析得出。
- 多重比较（Mulitple Comparition）：举个列子，股票分析师预测股票涨或跌。假设分析师都是靠随机猜测，也就是他们正确的概率是0.5。每一个人预测10次，那么预测正确的次数在8次或8次以上的概率为
，只有5%左右，比较低。但是如果50个分析师，每个人预测10次，选择至少一个人得到8次或以上的人作为代表，那么概率为 
，概率十分大，随着分析师人数的增加，概率无限接近1。但是，选出来的分析师其实是打酱油的，他对未来的预测不能做任何保证。上面这个例子就是多重比较。这一情况和决策树选取分割点类似，需要在每个变量的每一个值中选取一个作为分割的代表，所以选出一个噪音分割标准的概率是很大的。
优化方案1：修剪枝叶
决策树过渡拟合往往是因为太过“茂盛”，也就是节点过多，所以需要裁剪（Prune Tree）枝叶。裁剪枝叶的策略对决策树正确率的影响很大。主要有两种裁剪策略。
前置裁剪 在构建决策树的过程时，提前停止。那么，会将切分节点的条件设置的很苛刻，导致决策树很短小。结果就是决策树无法达到最优。实践证明这中策略无法得到较好的结果。
后置裁剪 决策树构建好后，然后才开始裁剪。采用两种方法：1）用单一叶节点代替整个子树，叶节点的分类采用子树中最主要的分类；2）将一个字数完全替代另外一颗子树。后置裁剪有个问题就是计算效率，有些节点计算后就被裁剪了，导致有点浪费。
优化方案2：K-Fold Cross Validation
首先计算出整体的决策树T，叶节点个数记作N，设i属于[1,N]。对每个i，使用K-Fold Validataion方法计算决策树，并裁剪到i个节点，计算错误率，最后求出平均错误率。这样可以用具有最小错误率对应的i作为最终决策树的大小，对原始决策树进行裁剪，得到最优决策树。
优化方案3：Random Forest
Random Forest是用训练数据随机的计算出许多决策树，形成了一个森林。然后用这个森林对未知数据进行预测，选取投票最多的分类。实践证明，此算法的错误率得到了经一步的降低。这种方法背后的原理可以用“三个臭皮匠定一个诸葛亮”这句谚语来概括。一颗树预测正确的概率可能不高，但是集体预测正确的概率却很高。
5、决策树模型评估
建立了决策树模型后需要给出该模型的评估值，这样才可以来判断模型的优劣。学习算法模型使用训练集 (training set) 建立模型，使用校验集 (test set) 来评估模型。本文通过评估指标和评估方法来评估决策树模型。 评估指标有分类准确度、召回率、虚警率和精确度等。而这些指标都是基于混淆矩阵 (confusion matrix) 进行计算的。
混淆矩阵是用来评价监督式学习模型的精确性，矩阵的每一列代表一个类的实例预测，而每一行表示一个实际的类的实例。以二类分类问题为例，如下表所示：
表 1. 混淆矩阵
N(Negative Sample)：负例的样本数量。
TP(True Positive)：正确预测到的正例的数量。
FP(False Positive)：把负例预测成正例的数量。
FN(False Negative)：把正例预测成负例的数量。
TN(True Negative)：正确预测到的负例的数量。
根据混淆矩阵可以得到评价分类模型的指标有以下几种。
分类准确度，就是正负样本分别被正确分类的概率，计算公式为：
图 8. 分类准确度计算公式
召回率，就是正样本被识别出的概率，计算公式为：
图 9. 召回率计算公式
虚警率，就是负样本被错误分为正样本的概率，计算公式为：
图 10. 虚警率计算公式
精确度，就是分类结果为正样本的情况真实性程度，计算公式为：
图 11. 精确度计算公式
评估方法有保留法、随机二次抽样、交叉验证和自助法等。
保留法 (holdout) 是评估分类模型性能的最基本的一种方法。将被标记的原始数据集分成训练集和检验集两份，训练集用于训练分类模型，检验集用于评估分类模型性能。但此方法不适用样本较小的情况，模型可能高度依赖训练集和检验集的构成。
随机二次抽样 (random subsampling) 是指多次重复使用保留方法来改进分类器评估方法。同样此方法也不适用训练集数量不足的情况，而且也可能造成有些数据未被用于训练集。
交叉验证
(cross-validation) 是指把数据分成数量相同的 k 份，每次使用数据进行分类时，选择其中一份作为检验集，剩下的 k-1
份为训练集，重复 k 次，正好使得每一份数据都被用于一次检验集 k-1
次训练集。该方法的优点是尽可能多的数据作为训练集数据，每一次训练集数据和检验集数据都是相互独立的，并且完全覆盖了整个数据集。也存在一个缺点，就是分类模型运行了
K 次，计算开销较大。
自助法 (bootstrap) 是指在其方法中，训练集数据采用的是有放回的抽样，即已经选取为训练集的数据又被放回原来的数据集中，使得该数据有机会能被再一次抽取。用于样本数不多的情况下，效果很好。
6、小结
决策树（Decision Tree）是一种简单但是广泛使用的分类器。通过训练数据构建决策树，可以高效的对未知的数据进行分类。决策数有两大优点：1）决策树模型可以读性好，具有描述性，有助于人工分析；2）效率高，决策树只需要一次构建，反复使用，每一次预测的最大计算次数不超过决策树的深度。
