P1182 数列分段 Section II——二分

题目描述

对于给定的一个长度为 \(N\) 的正整数数列 \(A_{1\sim N}\)，现要将其分成 \(M\)（\(M\leq N\)）段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。

关于最大值最小：

例如一数列 \(4\ 2\ 4\ 5\ 1\) 要分成 \(3\) 段。

将其如下分段：

\[[4\ 2][4\ 5][1] \]

第一段和为 \(6\)，第 \(2\) 段和为 \(9\)，第 \(3\) 段和为 \(1\)，和最大值为 \(9\)。

将其如下分段：

\[[4][2\ 4][5\ 1] \]

第一段和为 \(4\)，第 \(2\) 段和为 \(6\)，第 \(3\) 段和为 \(6\)，和最大值为 \(6\)。

并且无论如何分段，最大值不会小于 \(6\)。

所以可以得到要将数列 \(4\ 2\ 4\ 5\ 1\) 要分成 \(3\) 段，每段和的最大值最小为 \(6\)。

输入格式

第 \(1\) 行包含两个正整数 \(N,M\)。

第 \(2\) 行包含 \(N\) 个空格隔开的非负整数 \(A_i\)，含义如题目所述。

输出格式

一个正整数，即每段和最大值最小为多少。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 3
4 2 4 5 1

输出 #1

6

说明/提示

对于 \(20\%\) 的数据，\(N\leq 10\)。

对于 \(40\%\) 的数据，\(N\leq 1000\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\leq N\leq 10^5\)，\(M\leq N\)，\(A_i < 10^8\)， 答案不超过 \(10^9\)。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;

int n, m;
vector<int> a;

// 检查在每段和的最大值为 mid 的情况下，能否将数列分成不超过 m 段
bool check(int mid) {
    int segments = 1;  // 初始段数为 1
    int current_sum = 0;  // 当前段的和

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (current_sum + a[i] > mid) {
            // 如果加上当前元素后和超过 mid，开始新的一段
            segments++;
            current_sum = a[i];
        } else {
            // 否则，继续累加当前段的和
            current_sum += a[i];
        }
    }

    // 判断段数是否不超过 m
    return segments <= m;  // ★★★
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    int a_max = 0;  // 记录数列中的最大值
    int a_sum = 0;  // 记录数列的总和

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int b;
        cin >> b;
        a.push_back(b);
        a_sum += b;
        a_max = max(a_max, b);
    }

    int left = a_max;  // 左边界为数列中的最大值
    int right = a_sum;  // 右边界为数列的总和
    int ans;

    // 二分查找每段和的最大值的最小值
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (check(mid)) {
            ans = mid;
            right = mid - 1;  // 尝试更小的最大值
        } else {
            left = mid + 1;  // 尝试更大的最大值
        }
    }

    cout << ans << endl;
    return 0;
}