2.2.4 纠错码【译】

       计算机内存偶尔会因为电线上的电压电流，宇宙射线或其他因素而犯错。为了防止这些错误，一些内存使用了侦错码或纠错码。当使用这些编码时，额外的位会以特殊的方式附加到每个内存字上。当从内存读出一个字时，通过检查这些额外的位来确认是否有错误发生。
      为了理解怎样处理错误，有必要近距离看看错误到底是什么样子的。假设一个内存字包括m位数据，我们会加上r位的冗余或校验。假设总长度是n（n=m + r）。一个包括m位数据和r位校验的n位单元通常被称作n位码字。
      任意给出两个码字，比如，10001001和10110001，找出有几个对应位不同是可能的。上面的例子有3位不同。为了找出几位不同，只要按位计算两个码字的异或，然后统计结果中1的数量就好了。两个码字中不同的比特位数称作汉明距离（Hamming，1950）。意思是，如果两个码字的汉明距离是d，它们的互相转化需要d位错误。比如，码字11110001和00110000的汉明距离是3，因为把一个转化成另一个需要有3位的错误。
      有一个m位的内存字，所有2^m个位图都是合法的，考虑到位校验时的计算方式，只有2^n个码字是可用的。如果读取内存时出现了未验证的码字，计算机就知道发生了内存错误。给出计算校验位的算法，构建一个完整的合法码字列表是可能的，然后从这个列表中找出汉明距离最小的两个码字。这个距离就是整组编码的汉明距离。
      编码作为侦错码和纠错码的能力取决于它们的汉明距离。为了检查出d比特的错误，需要距离d+1位的编码，因为有了这样一个编码，d位错不可能把一个合法的码字变成另一个合法码字。类似地，为了纠正d位错，需要距离为2d+1的编码，那样的话，合法的码字距离那些只有d位变化的码字还很远（汉明距离是d+1），源码字与其他码字相比仍然近一些（汉明距离是d），所以它就是唯一确定的。
      作为纠错码的简单例子，考虑在数据后插入一个校验位形成的编码。校验位是可选的，所以码字中1的数量可以是偶数（或者基数）。这样一个编码的汉明距离是2，因为任意一位错都会产生奇偶错误的码字。换句话说，从一个合法的码字变成另一个合法码字需要2位错。它可以用于检测错误。无论何时，从内存读出的字如果有奇偶错误，说明错误已经发生。虽然程序无法继续执行，但至少不会产生错误结果。
      作为纠错码的简单例子，考虑只有四个合法码字的一组编码。
      0000000000， 0000011111，1111100000， 1111111111
      这组编码的汉明距离是5，意味着它能纠正两位错误。如果接收方收到0000000111，他知道初始数据一定是0000011111（假设不超过两位错）。然而，三位错能把0000000000变成0000000111，这个错误就无法纠正了。
      假设我们设计了一组编码，有m位数据和r位校验，该编码允许纠正所有的一位错。2^m个合法内存字中的每一个都有n个汉明距离为1的非法码字。这些码字是由n位码字变化n位中的任意一位所产生的。因此2^m个合法内存字中的每一个都需要n+1个位模式（n个错误模式和1个正确模式）。既然位模式的总数是2^n，我们有（n+1）2^m<=2^n。若n=m+r成立，则（m+r+1）<=2^r。给定m，它给出了纠正一位错所需校验位数的限制。图2-13展示了几种不同大小的内存字所需的校验位数。

 

 

       这种理论上的限制可以用Richard Hamming（1950）的一个方法来实现。在介绍Hamming的方法之前，让我们看一个简单的图形，清楚地表明了四位字纠错码的概念。图2-14（a）的韦恩图包括三个圆，A，B和C，总共形成了七个区域。举个例子，让我们在区域AB，ABC，AC和BC中编码4位内存字（按字母排序）。编码如图2-14（a）所示。

      接下来我们给每个空白区域增加校验位，如图2-14（b）。按定义，A，B，C三个圆中的每一个的区域位和都是偶数。在圆A中，我们有四个数0，0，1和1，加在一起是2，一个偶数。在圆B中，数字是1，1，0和0，加在一起是2，偶数。最后，在圆C，是一样的结果。在这个例子中所有的圆都一样，在其他例子中0和4也是可能的。这个数字相当于4个数据位和3个校验位的码字。
      现在假设AC区域中的位坏掉，从0变成1，如图2-14（c）。计算机现在能知道圆A和C校验错误（偶数）。把AC区域重设为0，仅仅一位变化就可纠正这个错误。这样，计算机能自动地修复一位内存错误。
      现在让我们看下怎样使用汉明算法给任意大小的内存字构建纠错码。在汉明码中，r位校验位被穿插在m位字中，形成了一个长度为m+r的新字。位编号从1开始，不是0，从最左边的位开始。所有位编号为2的乘幂的位都是校验位；剩下的是数据位。比如，有一个16位的字，添加了5个校验位。位1，2，4，8和16是校验位，剩下的位是数据位。这个内存字共有21位（16位数据和5位校验）。在这个例子中我们将用（任意地）偶校验。
      每个校验位检查特定的位编号；由于设置了校验位，所以已检查的位中1的总数是偶数。被校验位检查的位编号是：
      位1检查位1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21
      位2检查位2，3，6，7，10，11，14，15，18，19
      位4检查位4，5，6，7，12，13，14，15，20，21
      位8检查位8，9，10，11，12，13，14，15
      位16检查位16，17，18，19，20，21

      一般说来，位b被b1，b2，…，bj这些位检查，如此b1+b2+…+bj=b。比如位5被位1和位4检查因为1+4=5。位6被位2和位4检查因为2+4=6，如此等等。
图2-15展示了16位内存字1111000010101110怎样构建汉明码。21位的码字是001011100000101101110。为了搞清纠错码是怎样工作的，考虑如果位5由于电线上电流激增而发生变化。新的码字就是001001100000101101110而不是001011100000101101110。5个校验位会被检查，结果如下：
      校验位1错误（1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21这些位包含5个1）
      校验位2正确（2，3，6，7，10，11，14，15，18，19这些位包含6个1）
      校验位4错误（4，5，6，7，12，13，14，15，20，21这些位包含5个1）
      校验位8正确（8，9，10，11，12，13，14，15这些位包含2个1）
      校验位16正确（16，17，18，19，20，21包含4个1）

      在位1，3，5，7，9，11，13，15，17，19和21中，1的总数应当是偶数，一位用的是偶校验。不正确的位一定在校验位1所校验的位中，也就是位1，3，5，7，9，11，13，15，17，19或21。校验位4不正确，意味着位4，5，6，7，12，13，14，15，20或21中有一位不正确。错误位一定同时在两个列表中，也就是5，7，13，15或21。然而，校验位2是正确的，排除7和15。同理，校验位8是正确的，排除13。最后，校验位16是正确的，排除21。仅仅剩下位5，就是那个错误位。既然它现在是1，那它本该是0。如此，错误可以被纠正。
      有一个简单的方法来找出错误位：首先计算出所有的校验位。如果校验位都是正确的，就没有错（或超过一位错）。然后把不正确的校验位相加，位1就是1，位2就是2，位4就是4，等等。和就是不正确位的编号。比如，如果检验位1和4不正确但2，8，16正确，则位5（1+4）被修改了。