【ZJOI2017】树状数组

题目描述

漆黑的晚上,九条可怜躺在床上辗转反侧。难以入眠的她想起了若干年前她的一次悲惨的 OI 比赛经历。那是一道基础的树状数组题。

给出一个长度为 $n$ 的数组 $A$,初始值都为 $0$,接下来进行 $m$ 次操作,操作有两种:

  • $1~x$, 表示将 $A_x$ 变成 $(A_x + 1) \bmod{2}$。
  • $2~l~r$, 表示询问 $(\sum_{i=l}^r A_i) \bmod{2}$。

尽管那个时候的可怜非常的 simple,但是她还是发现这题可以用树状数组做。当时非常 young 的她写了如下的算法:

Algorithm 1

其中 $\mathrm{lowbit}(x)$ 表示数字 $x$ 最低的非 $0$ 二进制位,例如 $\mathrm{lowbit}(5) = 1, \mathrm{lowbit}(12) = 4$。进行第一类操作的时候就调用 $\mathrm{Add}(x)$,第二类操作的时候答案就是 $\mathrm{Query}(l, r)$。

如果你对树状数组比较熟悉,不难发现可怜把树状数组写错了:$\mathrm{Add}$ 和 $\mathrm{Find}$ 中 $x$ 变化的方向反了。因此这个程序在最终测试时华丽的爆 $0$ 了。

然而奇怪的是,在当时,这个程序通过了出题人给出的大样例——这也是可怜没有进行对拍的原因。

现在,可怜想要算一下,这个程序回答对每一个询问的概率是多少,这样她就可以再次的感受到自己是一个多么非的人了。然而时间已经过去了很多年,即使是可怜也没有办法完全回忆起当时的大样例。幸运的是,她回忆起了大部分内容,唯一遗忘的是每一次第一类操作的 $x$ 的值,因此她假定这次操作的 $x$ 是在 $[l_i, r_i]$ 范围内等概率随机的。

具体来说,可怜给出了一个长度为 $n$ 的数组 $A$,初始为 $0$,接下来进行了 $m$ 次操作:

  • $1~l~r$, 表示在区间 $[l, r]$ 中等概率选取一个 $x$ 并执行 $\mathrm{Add}(x)$。
  • $2~l~r$, 表示询问执行 $\mathrm{Query}(l, r)$ 得到的结果是正确的概率是多少。

输入格式

第一行输入两个整数 $n, m$。 接下来 $m$ 行每行描述一个操作,格式如题目中所示。

输出格式

对于每组询问,输出一个整数表示答案。如果答案化为最简分数后形如 $\frac{x}{y}$,那么你只需要输出 $x \times y^{-1} \bmod{998244353}$ 后的值。(即输出答案模 $998244353$)。

限制与约定

测试点编号 $n$ $m$ 其他约定
1$\le 5$$\le 10$
2$\le 50$$\le 50$
3
4$\le 3000$$\le 3000$
5
6$\le 10^5$$\le 10^5$所有询问都在修改后
7
8
9
10

对于 100% 的数据,保证 $1 \le l \le r \le n$。

时间限制:$4\texttt{s}$

空间限制:$512\texttt{MB}$


分析1

打个暴力,小范围的找一下规律,就会发现,这个写错的树状数组,其实就是单点修改,查询后缀和

那么因为所有的结果都对2取模,那么我们可以看成是查询后缀异或和

这样一来,我们\(Find(x)\)就是\(XOR_{i=x}^{n} a_i\)

于是\(Query(l,r)\)就是\(XOR_{i=l-1}^{n} a_i \oplus XOR_{i=r}^{n} a_i=XOR_{i=l-1}^{r-1} a_i\)

而实际,正确的答案应该是\(XOR_{i=l}^{r} a_i\),那么我们只要看\(a_{l-1}\oplus a_{r}\)的结果就行了

但是,当\(l=1\)的时候,情况就不一样了,因为Find函数,特判了\(l=1\)的情况

\(Query(1,r)=XOR_{i=r}^{n} a_i\),而实际需要的是\(XOR_{i=l}^{r} a_i\),那么就要看\(XOR_{i=1}^{n(i\neq r)} a_i\),也就是\(T\oplus a_r\)\(T\)表示\(1\)操作的次数,即修改的次数

那么,这样一来就变成了单点修改问题,直接暴力解决,时间复杂度\(O(nm)\),可以得到50分

#include<cstdio>  
#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<cstdlib>  
#include<cstring>
#include<string>
#include<climits>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#define LL long long
 
using namespace std;
 
inline char nc(){
  static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
  if (p1==p2) { p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin); if (p1==p2) return EOF; }
  return *p1++;
}
 
inline void read(int &x){
  char c=nc();int b=1;
  for (;!(c>='0' && c<='9');c=nc()) if (c=='-') b=-1;
  for (x=0;c>='0' && c<='9';x=x*10+c-'0',c=nc()); x*=b;
}
 
inline void read(LL &x){
  char c=nc();LL b=1;
  for (;!(c>='0' && c<='9');c=nc()) if (c=='-') b=-1;
  for (x=0;c>='0' && c<='9';x=x*10+c-'0',c=nc()); x*=b;
}

inline int read(char *s)
{
    char c=nc();int len=0;
    for(;!(c>='A' && c<='Z');c=nc()) if (c==EOF) return 0;
    for(;(c>='A' && c<='Z');s[len++]=c,c=nc());
    s[len++]='\0';
    return len;
}

inline void read(char &x){
  for (x=nc();!(x>='A' && x<='Z');x=nc());
}

int wt,ss[19];
inline void print(int x){

    if (x<0) x=-x,putchar('-'); 
    if (!x) putchar(48); else {
    for (wt=0;x;ss[++wt]=x%10,x/=10);
    for (;wt;putchar(ss[wt]+48),wt--);}
}
inline void print(LL x){
    if (x<0) x=-x,putchar('-');
    if (!x) putchar(48); else {for (wt=0;x;ss[++wt]=x%10,x/=10);for (;wt;putchar(ss[wt]+48),wt--);}
}

int n,m,a[100010],c[100010],f[5];
struct data
{
    LL x,y;
}q[100010];
LL Sum;
const LL mo=998244353;

LL GCD(LL x,LL y)
{
    if (x==0 || y==0) return 1LL;
    LL r=x%y;
    while (r!=0) x=y,y=r,r=x%y;
    return y;
}

LL Power(LL x,LL y)
{
    LL res=1;
    for(;y;y>>=1)
    {
        if (y&1) res=res*x%mo;
        x=x*x%mo;
    }
    return res%mo;
}

LL P(LL x,LL y){return x*Power(y,mo-2)%mo;}
LL jia(LL x,LL y){return (x+y)%mo;}
LL jia(LL x,LL y,LL z){return ((x+y)%mo+z)%mo;}
LL cheng(LL x,LL y){return x*y%mo;}

LL calc(int l,int r)
{
    if (l==1)
    {
        f[0]=P(1LL,1LL),f[1]=0;
        LL x,y;
        for (int i=1;i<=Sum;i++)
            if (q[i].x<=r && q[i].y>=r)
            {
                x=f[0],y=f[1];
                f[0]=jia(cheng(y,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(x,P(q[i].y-q[i].x,q[i].y-q[i].x+1LL)));
                f[1]=jia(cheng(x,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(y,P(q[i].y-q[i].x,q[i].y-q[i].x+1LL)));
            }
        x=f[Sum%2];
        return x;
    }
    else
    {
        LL x,y,u,v;l--;
        f[0]=P(1LL,1LL),f[1]=0,f[2]=0,f[3]=0;
        for (int i=1;i<=Sum;i++)
            if (q[i].x<=l && q[i].y>=l && q[i].x<=r && q[i].y>=r)
            {
                x=f[0],y=f[1],u=f[2],v=f[3];
                f[0]=jia(cheng(x,P(q[i].y-q[i].x-1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(y,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(u,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)));
                f[1]=jia(cheng(y,P(q[i].y-q[i].x-1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(x,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(v,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)));
                f[2]=jia(cheng(u,P(q[i].y-q[i].x-1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(x,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(v,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)));
                f[3]=jia(cheng(v,P(q[i].y-q[i].x-1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(y,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(u,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)));
            }
            else if (q[i].x<=l && q[i].y>=l)
            {
                x=f[0],y=f[1],u=f[2],v=f[3];
                f[0]=jia(cheng(x,P(q[i].y-q[i].x,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(u,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)));
                f[2]=jia(cheng(u,P(q[i].y-q[i].x,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(x,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)));
                f[1]=jia(cheng(y,P(q[i].y-q[i].x,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(v,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)));
                f[3]=jia(cheng(v,P(q[i].y-q[i].x,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(y,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)));
            }
            else if (q[i].x<=r && q[i].y>=r)
            {
                x=f[0],y=f[1],u=f[2],v=f[3];
                f[0]=jia(cheng(x,P(q[i].y-q[i].x,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(y,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)));
                f[1]=jia(cheng(y,P(q[i].y-q[i].x,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(x,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)));
                f[2]=jia(cheng(u,P(q[i].y-q[i].x,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(v,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)));
                f[3]=jia(cheng(v,P(q[i].y-q[i].x,q[i].y-q[i].x+1LL)),cheng(u,P(1LL,q[i].y-q[i].x+1LL)));
            }
        x=jia(f[0],f[3]);
        return x;
    }
}

int main()
{
    read(n);read(m);
    Sum=0;
    int x;LL y,z;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        read(x);read(y);read(z);
        if (x==1) Sum++,q[Sum].x=y,q[Sum].y=z;
        else print(calc(y,z)),puts("");
    }
    return 0;
}

分析2

这样一来,我们可以把问题转化到平面上来做

对于一个修改\([l,r]\),我们可以转为平面上的点\((l,r)\)

那么,对于一个询问,我们可以分三类讨论

第一类是仅包含左端点的,即\(1≤x≤l-1,1≤y<r\)

第二类是仅包含右端点的,即\(l≤x≤r,r≤y≤n\)

第三类是包含左右端点的,即\(l≤x≤l-1,r≤y≤n\)

显然,前两部分可以合在一起做,不过似乎网上的代码大都是三部分合在一起做的,这或许也是我常数大的原因吧

那么,我们就变成了动态二维数点问题,直接用二维线段树维护一下就好(我直接写了一棵四分树)

对于第一类,我们保留端点为\(1\)的概率,合并两个点的概率\(x\)\(y\),显然可以保留其中一个,那么\(P=x*(1-y)+y*(1-x)\)

对于第二类,我们保留两端点相同的概率,合并两个点的概率\(x\)\(y\),显然可以两个相等得到,也可以是都不同得到,那么\(P=x*y+(1-x)*(1-y)\)

然后就是写代码的问题了,没什么细节问题,就是要注意常数问题

#include<cstdio>  
#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<cstdlib>  
#include<cstring>
#include<string>
#include<climits>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#define LL long long
 
using namespace std;
 
inline char nc(){
  static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
  if (p1==p2) { p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin); if (p1==p2) return EOF; }
  return *p1++;
}
 
inline void read(int &x){
  char c=nc();int b=1;
  for (;!(c>='0' && c<='9');c=nc()) if (c=='-') b=-1;
  for (x=0;c>='0' && c<='9';x=x*10+c-'0',c=nc()); x*=b;
}
 
inline void read(LL &x){
  char c=nc();LL b=1;
  for (;!(c>='0' && c<='9');c=nc()) if (c=='-') b=-1;
  for (x=0;c>='0' && c<='9';x=x*10+c-'0',c=nc()); x*=b;
}

inline int read(char *s)
{
    char c=nc();int len=0;
    for(;!(c>='A' && c<='Z');c=nc()) if (c==EOF) return 0;
    for(;(c>='A' && c<='Z');s[len++]=c,c=nc());
    s[len++]='\0';
    return len;
}

inline void read(char &x){
  for (x=nc();!(x>='A' && x<='Z');x=nc());
}

int wt,ss[19];
inline void print(int x){

    if (x<0) x=-x,putchar('-');
    if (!x) putchar(48); else {
    for (wt=0;x;ss[++wt]=x%10,x/=10);
    for (;wt;putchar(ss[wt]+48),wt--);}
}
inline void print(LL x){
    if (x<0) x=-x,putchar('-');
    if (!x) putchar(48); else {for (wt=0;x;ss[++wt]=x%10,x/=10);for (;wt;putchar(ss[wt]+48),wt--);}
}

int n,m,S,a[100010],c[100010],f[5],Max;
struct data
{
    LL x,y;
}q[100010];
LL Sum;
const LL mo=998244353;
struct st
{
    LL p1,p2;
    int c1,c2,c3,c4;
}tree[800010];

LL Power(LL x,LL y)
{
    LL res=1;
    for(;y;y>>=1)
    {
        if (y&1) res=res*x%mo;
        x=x*x%mo;
    }
    return res%mo;
}

LL P(LL x,LL y){return x*Power(y,mo-2)%mo;}
LL merge1(LL x,LL y){return ((x*(1LL+mo-y))%mo+(y*(1LL+mo-x))%mo)%mo;}
LL merge2(LL x,LL y){return (x*y%mo+(1LL+mo-x)*(1LL+mo-y)%mo)%mo;}
LL merge1(LL a,LL b,LL c,LL d){return merge1(merge1(a,b),merge1(c,d));}
LL merge2(LL a,LL b,LL c,LL d){return merge2(merge2(a,b),merge2(c,d));}

void change(int xq,int yq,int xl,int xr,int yl,int yr,int x,LL z1,LL z2)
//z1是修改单个概率,z2是两个都不被修改的概率
{
    if (xl==xr && yl==yr){tree[x].p1=merge1(tree[x].p1,z1);tree[x].p2=merge2(tree[x].p2,z2);return ;}
    int midx=xl+xr>>1,midy=yl+yr>>1;
    if (xq<=midx && yq<=midy && xl<=midx && yl<=midy)
    {
        if (tree[x].c1==0) tree[x].c1=++S,tree[S].p1=0LL,tree[S].p2=1LL;
        change(xq,yq,xl,midx,yl,midy,tree[x].c1,z1,z2);
    }
    else if (xq<=midx && yq>midy && xl<=midx && midy+1<=yr)
    {
        if (tree[x].c2==0) tree[x].c2=++S,tree[S].p1=0LL,tree[S].p2=1LL;
        change(xq,yq,xl,midx,midy+1,yr,tree[x].c2,z1,z2);
    }
    else if (xq>midx && yq<=midy && midx+1<=xr && yl<=midy)
    {
        if (tree[x].c3==0) tree[x].c3=++S,tree[S].p1=0LL,tree[S].p2=1LL;
        change(xq,yq,midx+1,xr,yl,midy,tree[x].c3,z1,z2);
    }
    else 
    {
        if (tree[x].c4==0) tree[x].c4=++S,tree[S].p1=0LL,tree[S].p2=1LL;
        change(xq,yq,midx+1,xr,midy+1,yr,tree[x].c4,z1,z2);
    }
    tree[x].p1=merge1(tree[tree[x].c1].p1,tree[tree[x].c2].p1,tree[tree[x].c3].p1,tree[tree[x].c4].p1);
    tree[x].p2=merge2(tree[tree[x].c1].p2,tree[tree[x].c2].p2,tree[tree[x].c3].p2,tree[tree[x].c4].p2);
}

LL query1(int xlq,int xrq,int ylq,int yrq,int xl,int xr,int yl,int yr,int x)
{
    if (x==0) return 0LL;
    if (xlq<=xl && xrq>=xr && ylq<=yl && yrq>=yr) return tree[x].p1;
    int midx=xl+xr>>1,midy=yl+yr>>1;LL res=0LL;
    if (xlq<=midx && ylq<=midy && xl<=midx && yl<=midy) res=merge1(res,query1(xlq,xrq,ylq,yrq,xl,midx,yl,midy,tree[x].c1));
    if (xlq<=midx && yrq>midy && xl<=midx && midy+1<=yr) res=merge1(res,query1(xlq,xrq,ylq,yrq,xl,midx,midy+1,yr,tree[x].c2));
    if (xrq>midx && ylq<=midy && midx+1<=xr && yl<=midy) res=merge1(res,query1(xlq,xrq,ylq,yrq,midx+1,xr,yl,midy,tree[x].c3));
    if (xrq>midx && yrq>midy && midx+1<=xr && midy+1<=yr) res=merge1(res,query1(xlq,xrq,ylq,yrq,midx+1,xr,midy+1,yr,tree[x].c4));
    return res%mo;
}

LL query2(int xlq,int xrq,int ylq,int yrq,int xl,int xr,int yl,int yr,int x)
{
    if (x==0) return 1LL;
    if (xlq<=xl && xrq>=xr && ylq<=yl && yrq>=yr) return tree[x].p2;
    int midx=xl+xr>>1,midy=yl+yr>>1;LL res=1LL;
    if (xlq<=midx && ylq<=midy && xl<=midx && yl<=midy) res=merge2(res,query2(xlq,xrq,ylq,yrq,xl,midx,yl,midy,tree[x].c1));
    if (xlq<=midx && yrq>midy && xl<=midx && midy+1<=yr) res=merge2(res,query2(xlq,xrq,ylq,yrq,xl,midx,midy+1,yr,tree[x].c2));
    if (xrq>midx && ylq<=midy && midx+1<=xr && yl<=midy) res=merge2(res,query2(xlq,xrq,ylq,yrq,midx+1,xr,yl,midy,tree[x].c3));
    if (xrq>midx && yrq>midy && midx+1<=xr && midy+1<=yr) res=merge2(res,query2(xlq,xrq,ylq,yrq,midx+1,xr,midy+1,yr,tree[x].c4));
    return res%mo;
}

int main()
{
    read(n);read(m);
    int x,y,z;LL A,B,C,s=0;
    memset(tree,0,sizeof(tree));
    tree[0].p1=0LL,tree[0].p2=1LL;
    tree[1].p1=0LL,tree[1].p2=1LL;S=1;
    while (m--)
    {
        read(x);read(y);read(z);
        if (x==1)
        {
            if (z-y+1>1) change(y,z,1,n,1,n,1,P(1LL,(LL)z-y+1),P((LL)z-y-1,(LL)z-y+1));
            else change(y,z,1,n,1,n,1,P(1LL,(LL)z-y+1),0LL);
            s++;
        }
        else
        {
            if (y>1)
            {
                A=query1(1,y-1,y-1,z-1,1,n,1,n,1);
                B=query2(1,y-1,z,n,1,n,1,n,1);
                C=query1(y,z,z,n,1,n,1,n,1);
                print(((B*A%mo*C%mo+B*(1LL+mo-A)%mo*(1LL+mo-C)%mo)%mo+((1LL+mo-B)*A%mo*(1LL+mo-C)%mo+(1LL+mo-B)*C%mo*(1LL+mo-A)%mo)%mo)%mo),puts(""); 
            }
            else
            {
                if (s%2==0) print((1LL+mo-query1(1,z,z,n,1,n,1,n,1))%mo),puts("");
                else print(query1(1,z,z,n,1,n,1,n,1)),puts("");
            }
        }
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posted @ 2017-05-03 11:11  Xiejiadong  阅读(...)  评论(...编辑  收藏
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