LeetCode之“动态规划”：Maximum Subarray

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　　题目要求：

　　Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

　　For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],
　　the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

　　More practice:

　　If you have figured out the O(n) solution, try coding another solution using the divide and conquer approach, which is more subtle.

　　复杂度为O(n)的程序如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int sz = nums.size();
        if(sz == 0)
            return 0;
            
        int maxsofar = INT_MIN;
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < sz; i++)
        {
            sum += nums[i];
            if(sum > maxsofar)
                maxsofar = sum;
            if(sum < 0)
                sum = 0;
        }
        
        return maxsofar;
    }
};

 　　我们也可以利用局部最优和全局最优的思想来解决这个问题（参考自一博文）：

　　基本思路是这样的，在每一步，我们维护两个变量，一个是全局最优，就是到当前元素为止最优的解是，一个是局部最优，就是必须包含当前元素的最优的解。接下来说说动态规划的递推式（这是动态规划最重要的步骤，递归式出来了，基本上代码框架也就出来了）。假设我们已知第i步的global[i]（全局最优）和local[i]（局部最优），那么第i+1步的表达式是：local[i+1]=max(A[i], local[i]+A[i])，就是局部最优是一定要包含当前元素，所以不然就是上一步的局部最优local[i]+当前元素A[i]（因为local[i]一定包含第i个元素，所以不违反条件），但是如果local[i]是负的，那么加上他就不如不需要的，所以不然就是直接用A[i]；global[i+1]=max(local[i+1],global[i])，有了当前一步的局部最优，那么全局最优就是当前的局部最优或者还是原来的全局最优（所有情况都会被涵盖进来，因为最优的解如果不包含当前元素，那么前面会被维护在全局最优里面，如果包含当前元素，那么就是这个局部最优）。

　　具体程序如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int sz = nums.size();
        if(sz == 0)
            return 0;
        
        vector<int> local(sz, 0);
        vector<int> global(sz, 0);
        local[0] = nums[0];
        global[0] = nums[0];
        for(int i = 1; i < sz; i++)
        {
            local[i] = max(nums[i], nums[i] + local[i - 1]);
            global[i] = max(global[i - 1], local[i]);
        }
        
        return global[sz - 1];
    }
};

　　这个程序还可以更节省空间：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int sz = nums.size();
        if(sz == 0)
            return 0;
            
        int local = nums[0];
        int global = nums[0];
        for(int i = 1; i < sz; i++)
        {
            local = max(nums[i], nums[i] + local);
            global = max(global, local);
        }
        
        return global;
    }
};