速通 量子计算机科学（上半学期）

\[\cos x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}=\mathrm{Re}(e^{ix}),\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\mathrm{Im}(e^{ix})\\ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \]

\[\pmatrix{a&b\\c&d}^{-1}=\frac1{ad-bc}\pmatrix{d&-b\\-c&a} \]

需要注意 \(|x\rangle,\langle x|\) 互为共轭转置。

Section 2.1 Preliminaries

我们讨论 quantum 一般是基于四个 assumption：

• （态空间公设）任意孤立物理系统对应一个 Hilbert space，该物理系统的 state 唯一对应 Hilbert space 里的一个矢量。

  Hilbert space 指的是完备的内积空间，不过完备性貌似课上用不太到？我一般直接当成欧几里得空间。

• （可观测量公设）一个 observable 唯一对应 Hilbert space 的一个 Hermitian operator。

  Operator 就是一个 state 到 state 的映射，Hermitian operator 指的是满足 \(A=A^\dagger\) 的 operator \(A\)。

  由于 \(A\) 一般是矩阵，所以一般常用 \((A^\dagger)_{mn}=A^*_{nm}\)。

  对于 Hermitian operator \(A\)，根据定义容易得到 \(\langle\psi_1\mid A\mid \psi_2\rangle^*=\langle\psi_2\mid A^\dagger\mid\psi_1\rangle=\langle\psi_2\mid A\mid \psi_1\rangle\)。

  此外，Hermitian operator 有 spectral decomposition (with \(A|\lambda_i\rangle=\lambda_i|\lambda_i\rangle\))：

  \[A=\sum_i\lambda_i|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i| \]

  谱分解会有 completeness \(\sum_i|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|=\hat I\) 以及 orthonormal \(\langle\lambda_i\mid\lambda_j\rangle=\delta_{ij}\) 两条性质。

  这两条性质也可以得到 expansion：\(|\psi\rangle=\sum_ia_i|\lambda_i\rangle\) where \(a_i=\langle\lambda_i\mid\psi\rangle\)。

  还有一个推论是：对于关于算符的解析函数 \(f(A)\)，泰勒级数告诉我们：

  \[f(A)=\sum_{n=0}^\infty c_n(\sum_i\lambda_i|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|)^n=\sum_{n=0}^\infty c_n\sum_i\lambda_i^n|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|=\sum_if(\lambda_i)|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i| \]

• （演化公设）薛定谔方程 \(i\hbar\frac{\part|\psi\rangle}{\part t}=H|\psi\rangle\)，\(H\) 是系统的哈密顿量。

  若 \(H\) 是 t-independent，那么我们有公式解 \(|\psi(t)\rangle=\exp(-\frac{i\hat H(t-t_0)}{\hbar})|\psi(t_0)\rangle=U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle\)，其中 \(U\) 被我们称作 evolution operator，容易验证这是 unitary 的。

  实际上无论 \(H\) 是不是 t-independent 的，这个 evolution operator 一定是 unitary 的。因为我们可以把时间切成无限小的段，每一段都是几乎 t-independent 的，把这些 unitary combine 起来还是 unitary 的。

  我们一般是解这个 ODE 来得到系统如何演化，这里以作业题举例：

  \[H=-\gamma\vec S\cdot(B_0\cos\omega t,B_0\sin\omega t,B_1) \]

  薛定谔方程告诉我们：

  \[i\hbar\pmatrix{\dot a(t)\\\dot b(t)}=-\frac{\gamma\hbar}{2} ((B_0\cos\omega t)\sigma_x+(B_0\sin\omega t)\sigma_y+B_1\sigma_z)\pmatrix{a(t)\\b(t)}\\ =-\frac{\gamma\hbar}{2}\pmatrix{B_1&B_0e^{-i\omega t}\\B_0e^{i\omega t}&-B_1}\pmatrix{a(t)\\b(t)} \]

• （波恩公设）当我们测量一个态为 \(|\psi\rangle\) 的某个 observable \(A\) 时，塌缩为 \(A\) 的 eigenstate \(|\lambda_i\rangle\) 的概率是 \(p_i=|\langle\lambda_i\mid\psi\rangle|^2\)。若用 \(|\lambda_i\rangle\) 对应的基表示 \(|\psi\rangle=\sum_ia_i|\lambda_i\rangle\)，那么直接有 \(p_i=|a_i|^2\)。

• （和系统公设）对于 Hilbert space \(H=H_1\otimes H_2\)，第一个子系统的 state \(|\psi_1\rangle\) 与第二个子系统的 state \(|\psi_2\rangle\) 对应 \(|\psi_1\rangle\otimes|\psi_2\rangle\)。

  需要注意 \(\otimes\) 对应的计算是这样的：\((\langle\psi_1|\otimes\langle\psi_2|)\cdot(|\phi_1\rangle\otimes|\phi_2\rangle)=\langle\psi_1\mid\phi_1\rangle\langle\psi_2\mid\phi_2\rangle\)。

[定理] (quantum no-cloning theorem) 我们不可能造出克隆任意量子态的电路。

证明：

若存在这样的电路，其可以刻画为 unitary operator \(U\) such that \(U(|\psi\rangle_A|0\rangle_B)=|\psi\rangle_A|\psi\rangle_B\) for any \(|\psi\rangle\)。

（这里的 \(|\psi\rangle_A|\psi\rangle_B\) 指的是 \(|\psi\rangle_A\otimes|\psi\rangle_B\)，也就是两个 state 的张量积）

我们取任意 \(|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle\) 代入 \(U(|\psi_1\rangle_A|0\rangle_B)=|\psi_1\rangle_A|\psi_1\rangle_B,U(|\psi_2\rangle_A|0\rangle_B)=|\psi_2\rangle_A|\psi_2\rangle_B\)，将结果相乘：

\[\langle0|_B\langle\psi_1|_A U^\dagger U|\psi_2\rangle_A|0\rangle_B=\langle\psi_1|_A|\psi_2\rangle_A\langle\psi_2|_B|\psi_2\rangle_B\\ \Rightarrow \langle\psi_1\mid \psi_2\rangle=\langle\psi_1\mid \psi_2\rangle^2\\ \Rightarrow\langle\psi_1\mid \psi_2\rangle=0,1 \]

但我们可以任意选不满足此条件的 \(|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle\)，这样就矛盾了！

不过我们在波恩公设中，还没有解释清楚什么是测量，我们接下来给出其定义：

[定义] (projector) 一组投影算子是一组矩阵 \(p_i=|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\)。

[定义] (von Neumann measurement) 我们用一组正交的投影算子 \(\{P_m\}\) 来定义测量，以波恩公设给予的概率决定给出哪一个下标 \(m\) 作为结果，并让最后的 state 坍缩至对应的态。

测量可以说是量子世界最特殊的操作，比如说在量子世界中测量是不可逆的。

我们以一个经典的实验——Stern-Gerlach 实验为例来说明量子世界中测量的特殊之处。

有一个加热炉不停向外逸散银原子，我们可以对其进行 \(\sigma_x\) 测量和 \(\sigma_z\) 测量，每此测量都有结果 \(\pm1\)。

该实验由三个部分组成：

• 先施加 \(\sigma_z\) 测量，保留结果为 \(+1\) 的粒子，再施加 \(\sigma_z\) 测量，结果全部为 \(+1\)。
• 先施加 \(\sigma_z\) 测量，保留结果为 \(+1\) 的粒子，再施加 \(\sigma_x\) 测量，结果同时含有 \(\pm1\)。
• 先施加 \(\sigma_z\) 测量，保留结果为 \(+1\) 的粒子，再施加 \(\sigma_x\) 测量，保留结果为 \(+1\) 的粒子，最后施加 \(\sigma_z\) 测量，结果同时含有 \(\pm1\)。

实验的第三部分是最令人费解的部分，为什么我们在确定了 \(\sigma_z\) 维度之后，仅仅经过 \(\sigma_x\) 测量，再次测量 \(\sigma_z\) 会回到原样呢？

我们容易通过计算来验证，\(\sigma_z\) 测量后的状态为 \(|1\rangle\)，经过 \(\sigma_x\) 测量后状态会以一半概率为 \(|+\rangle\) 一半概率为 \(|-\rangle\)，这便会导致之后的 \(\sigma_z\) 测量结果“重掷”。

Section 2.2 Qubit system

对于一个有限维的 Hilbert space，其基底可以被列为 \(|e_0\rangle,|e_1\rangle,\cdots,|e_{d-1}\rangle\)。在此节我们讨论 \(d=2\) 的情况，我们又称其为 qubit 系统（对于一般的 \(d\) 我们称其为 qudit）。

首先，该系统的基底为 \(|0\rangle=\pmatrix{1\\0},|1\rangle=\pmatrix{0\\1}\)，且一个 state 应能被写作 \(|\psi\rangle=c_0|0\rangle+c_1|1\rangle\)with \(|c_0|^2+|c_1|^2=1\)。于是一个 state 应有 3-degree freedom，可以重写为 \(|\psi\rangle=e^{i\gamma}(\cos\frac{\theta}2|0\rangle+e^{i\phi}\sin\frac\theta2|1\rangle)\)。根据我们对测量的描述，实际上 \(e^{i\gamma}\) 并没有用处，\(\gamma\) 也被称作 global phase，所以我们一般默认其为 \(0\)。

这样，我们就可以把一个 state 表示一个 unit ball 上的球坐标 \((\theta,\phi)\)，我们称这个球面为 Bloch sphere。在这个表示中，我们以 \(|0\rangle,|1\rangle\) 作为 z-axis 的 正负轴，|+\rangle,|-\rangle 作为 x-axis 的正负轴，，|L\rangle,|R\rangle 作为 y-axis 的正负轴（同时，这几个向量也是对应的 Pauli 矩阵的特征向量）。

\[|+\rangle=\frac1{\sqrt 2}(|0\rangle+|1\rangle),|-\rangle=\frac1{\sqrt 2}(|0\rangle-|1\rangle),|L\rangle=\frac1{\sqrt 2}(|0\rangle+i|1\rangle),|R\rangle=\frac1{\sqrt 2}(|0\rangle-i|1\rangle) \]

需要注意这一对应有些地方比较 subtle，在 Hilbert space 中一个 vector 的 orthogonal vector 是唯一的，对应到 Bloch sphere 中是一个 vector 的 opposite vector 是唯一的（而 orthogonal vector 有无穷个）。

刻画完 state 后，我们同样要刻画 qubit system 中的 operator。这样的 operator 是一个 \(2\times 2\) 的矩阵，我们一般以这四个 Pauli 矩阵作为基底：

\[I=\sigma_0=\pmatrix{1&0\\0&1}\\ X=\sigma_x=\sigma_1=\pmatrix{0&1\\1&0}\\ Y=\sigma_y=\sigma_2=\pmatrix{0&-i\\i&0}\\ Z=\sigma_z=\sigma_3=\pmatrix{1&0\\0&-1} \]

Pauli matrices 有特别多方便的性质，我们在之后的计算中会频繁用到：

• \([\sigma_i,\sigma_j]=2i\sigma_k\epsilon_{ijk}\)，其中 \(k=6-i-j\)，\(\epsilon_{ijk}\) 在 \((i,j,k)\) 为偶排列的时候为 \(1\)，奇排列的时候为 \(-1\)。
• \(\{\sigma_i,\sigma_j\}=0\)。
• \([\vec n\cdot\vec\sigma,\vec P\cdot\vec\sigma]=2i(\vec n\times \vec P)\cdot\vec\sigma\)。
• \(\sigma_i^2=I,\mathrm{tr}(\sigma_i)=2[i=0]\).（which implies \(\lambda_i=\pm1\)）。
• \(Y=iXZ\)。

此外，我们记 \(\vec S=\frac \hbar 2\vec\sigma=\frac\hbar2(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)\)。

课上还将其推广到了有限维的 qudit system，其 Basis 是 \(|0\rangle,|1\rangle,\cdots,|d-1\rangle\)。

Operator 的 basis 是 \(Y_{mn}\equiv X_d^mZ_d^n,\forall m,n\in[0,d-1]\)，其中 \(Z_d|j\rangle\equiv\omega^i|j\rangle,X_d\equiv |(j+1)\bmod d\rangle\)（\(Z_d\) 是 unitary 的，但是不 Hermitian）。

这里的 \(X_d,Z_d\) 有一些性质：

• \(Z_d^d=X_d^d=I\)。
• \(X_dZ_d=\omega^{-1}Z_dX_d\)。

Section 2.3 Continuous-variable systems

定义是，拥有无限维 Hilbert space，且有某个 operator 有 continuous eigenspectrum。

比如 coordinate \(\hat x\) momentum \(\hat p\)：

\[\hat x=\int x|x\rangle\langle x|\mathrm dx,\hat p=\int p|p\rangle\langle p|\mathrm dp \]

Eigenspectrum 有两条 property：

• Completeness: \(\int|x\rangle\langle x|\mathrm dx=\int|p\rangle\langle p|\mathrm dp=I\).

• Normalization: \(\langle x\mid x'\rangle=\delta(x-x'),\langle p\mid p'\rangle=\delta(p-p')\), where \(\delta(x-x')=\begin{cases}0&x\ne x'\\\infty&x=x'\end{cases}\).

  这里的定义实际上不是很严谨，更严谨的叙述方式是 define \(\delta\) by relation \(\int f(x)\delta(x-x')\mathrm dx=f(x')\).

  于是我们可以通过 \(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ik(x-x')}\mathrm dk=\delta(x-x')\) 来刻画。

[定理] (D-E relation) \(p=\hbar k\).

[定理] \(\langle x\mid p\rangle=\langle p\mid x\rangle^*=\frac1{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{ipx}\hbar}\)。

这个可以视作公设，是从经典物理推导而来的。

接下来我们定义波函数 \(|\psi\rangle\)，我们定义 \(\psi(x)\equiv\langle x\mid \psi\rangle\) (wave-function in the coordinate basis) 与 \(\phi(p)=\langle p\mid \psi\rangle\) (wave-function in momentum basis).

利用 completeness 我们容易得到：

\[\phi(p)=\langle p\mid \psi\rangle=\int\langle p\mid x\rangle\langle x\mid \psi\rangle\mathrm dx=\int\psi(x)\frac{e^{-\frac{ipx}{\hbar}}}{\sqrt{2\pi\hbar}}\mathrm dx \]

这就是 \(\psi(x)\) 表示 \(\phi(p)\) 的 Fourier transform 形式，类似地我们能得到 \(\psi(x)=\int\phi(p)\frac{e^{\frac{ipx}{\hbar}}}{\sqrt{2\pi\hbar}}\mathrm dp\)。

一个更困难的问题是如何用表示 \(\hat p\) in the coordinate basis：

\[\hat p=\int pI|p\rangle\langle p|I\mathrm dp\\ =\int p|x\rangle\langle x\mid p\rangle\langle p\mid x'\rangle\langle x'|\mathrm dp\mathrm dx\mathrm dx'\\ =\int p|x\rangle\langle x'|\frac1{2\pi\hbar}e^{i\frac{p(x-x')}{\hbar}}\mathrm dp\mathrm dx\mathrm dx'\\ =\int |x\rangle\langle x'|(i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dx'})\frac{e^{i\frac{p(x-x')}{\hbar}}}{2\pi\hbar}\mathrm dp\mathrm dx\mathrm dx'\\ =\int|x\rangle(-i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dx'})\langle x'|\frac{e^{i\frac{p(x-x')}\hbar}}{2\pi\hbar}\mathrm dp\mathrm dx\mathrm dx'\\ =\int|x\rangle(-i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dx'})\langle x'|\delta(x-x')\mathrm dx\mathrm dx'\\ =\int|x\rangle(-i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dx})|x\rangle\mathrm dx \]

第三步是用求导来消去 \(p\)，第四步是对 \(x'\) 的分部积分（\(fg{\huge |}_{-\infty}^{\infty}=0\) 是因为我们默认任意 wave-function 在无穷远处都应为零），第五步用的是 \(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ik(x-x')}\mathrm dk=\delta(x-x')\)。

这我们也写作 \(\hat p\Leftrightarrow -ih\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\)。类似地，我们也能得到 \(\hat x\Leftrightarrow \int |p\rangle(i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dp})\langle p|\mathrm dp\).

这里直接写 \(\hat x=\int |p\rangle(i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dp})\langle p|\mathrm dp\) 还是不太严谨（另一侧同理），因为我们得到的实际上是：

对于任意左矢 \(\langle p'|\) 以及 wave-function \(|\psi\rangle\)，都有：

\[\langle p'|\hat x|\psi\rangle=\int\langle p'\mid p\rangle(i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dp})\langle p\mid \psi\rangle\mathrm dp\\ =\int\delta(p'-p)(i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dp}\psi(p))\mathrm dp\\ =i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dp'}\psi(p') \]

一个简单的推论是：

\[[\hat x,f(\hat p)]=[i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dp},f(\hat p)]=i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dp}f(\hat p)-f(\hat p)i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dp}\\ =i\hbar(\frac{\mathrm d}{\mathrm dp}f(\hat p))+i\hbar f(\hat p)\frac{\mathrm d}{\mathrm dp}-i\hbar f(\hat p)\frac{\mathrm d}{\mathrm dp}=i\hbar(\frac{\mathrm d}{\mathrm dp}f(\hat p)) \]

Section 2.4 Uncertainty relation

[定义] (expectation of the observable) 对于 \(|\psi\rangle\)，我们记测量期望 \(\langle A\rangle\) 的值为 \(\langle\psi\mid A\mid \psi\rangle\)。

一些常用的结论：

• \(\langle\hat A^\dagger\hat A\rangle=\langle\psi\mid \hat A^\dagger\hat A\mid\psi\rangle=(\hat A|\psi\rangle)^\dagger(\hat A|\psi\rangle)\geqslant 0\)；
• \((\langle\hat O\rangle)^*=\langle\psi\mid \hat O\mid \psi\rangle^*=(\hat O|\psi\rangle)^\dagger(\langle\psi|)^\dagger=(\langle\psi|\hat O^\dagger)|\psi\rangle=\langle\hat O^\dagger\rangle\)。

为方便，我们再记 \(\Delta\hat A=\hat A-\langle\hat A\rangle\)，于是 \(\langle(\Delta A)^2\rangle\) 就是测量方差。

[定理] (Uncertainty relations) 对于两个非对易（\([A,B]\ne 0\)）的算子 \(A,B\)，我们有:

\[\langle(\Delta A)^2\rangle\langle(\Delta B)^2\rangle\geqslant \frac14|\langle[A,B]\rangle|^2 \]

证明：

令 \(\hat C=\Delta \hat A+i\lambda\Delta\hat B\)，带入 \(\langle\hat C^\dagger\hat C\rangle\geqslant 0\)：

\[0\leqslant \langle\hat C^\dagger\hat C\rangle=\langle(\Delta \hat A+i\lambda\Delta\hat B)^\dagger(\Delta \hat A+i\lambda\Delta\hat B)\rangle\\ =\langle(\Delta \hat A)^2+\lambda^2(\Delta\hat B)^2-i\lambda \Delta\hat B\Delta\hat A+i\lambda \Delta\hat A\Delta\hat B\rangle\\ =\langle(\Delta \hat A)^2\rangle+\lambda^2\langle(\Delta\hat B)^2\rangle+i\lambda\langle\hat A\hat B-\langle\hat A\rangle\hat B-\hat A\langle\hat B\rangle+\langle\hat A\rangle\langle\hat B\rangle-\hat B\hat A+\langle\hat B\rangle\hat A+\hat B\langle\hat A\rangle-\langle\hat B\rangle\langle\hat A\rangle\rangle\\ =\langle(\Delta \hat A)^2\rangle+\lambda^2\langle(\Delta\hat B)^2\rangle+i\lambda\langle[\hat A,\hat B]\rangle \]

由于对于任意实数 \(\lambda\)，其值恒大于等于零，根据判别式：

\[(i\langle[\hat A,\hat B]\rangle)^2-4\langle(\Delta \hat A)^2\rangle\langle(\Delta \hat B)^2\rangle\leqslant 0\Rightarrow\langle(\Delta \hat A)^2\rangle\langle(\Delta \hat B)^2\rangle\geqslant -\frac14(\langle[\hat A,\hat B]\rangle)^2 \]

最后一步我们需要说明 \(\langle[\hat A,\hat B]\rangle\) 是纯虚的：

\[(\langle[\hat A,\hat B]\rangle)^*=\langle[\hat A,\hat B]^\dagger\rangle=\langle-[\hat A,\hat B]\rangle=-\langle[\hat A,\hat B]\rangle \]

纯虚说明平方为负，带入就能得到最后的形式 \(\langle(\Delta A)^2\rangle\langle(\Delta B)^2\rangle\geqslant \frac14|\langle[A,B]\rangle|^2\)。

直接代入 \(\hat x,\hat p\) 可以得到最广为人知的结果 \(\langle(\Delta \hat x)^2\rangle\langle(\Delta \hat p)\rangle\geqslant\frac{\hbar^2}4\)。

若代入 \(\hat\sigma_x,\hat\sigma_y\) 就能得到 \(\langle(\Delta \hat\sigma_x)^2\rangle\langle(\Delta \hat\sigma_y)^2\rangle\geqslant \langle\hat\sigma_z\rangle^2\)，也就是 \((1-\langle\sigma_x\rangle^2)(1-\langle\sigma_y\rangle^2)\geqslant\langle\sigma_z\rangle^2\)。

不确定关系的另一个应用是零点能，我们以谐振子（oscillator）的能量为例：

\[\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac12m\omega^2\hat x^2 \]

这个实际上就是：

\[E=\langle\hat H\rangle=\frac{\langle\hat p^2\rangle}{2m}+\frac12m\omega^2\langle\hat x^2\rangle\\ \geqslant2\sqrt{\frac14\omega^2\langle\hat p^2\rangle\langle\hat x^2\rangle}\\ \geqslant\omega\sqrt{\frac{\hbar^2}{4}}=\frac{1}{2}\hbar\omega \]

Section 2.5 Schrödinger picture and Heisenberg picture

薛定谔绘景：State evolves, but operator does not. state 的演化服从薛定谔方程 \(i\hbar \frac{\part|\psi\rangle}{\part t}=\hat H|\psi\rangle\)。

例：CV 系统下薛定谔方程的 coordinate representation。

\[i\hbar\frac{\part\psi(x)}{\part t}=i\hbar\frac{\part\langle x\mid\psi\rangle}{\part t}=\langle x\mid (\frac{\hat p^2}{2m}+V(\hat x))\mid\psi\rangle\\ =\langle x\mid V(\hat x)\mid \psi\rangle+\frac1{2m}\langle x\mid\hat p^2\mid\psi\rangle\\ =V(x)\psi(x)+\frac1{2m}(-\hbar^2\frac{\part^2}{\part x^2})\psi(x)\\ =(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\part^2}{\part x^2}+V(x))\psi(x) \]

第二步左侧用的是 \(\langle x\mid\hat x\mid \psi\rangle=x\psi(x)\)。

对于 momentum representation 是类似的：

\[i\hbar\frac{\part\phi(p)}{\part t}=i\hbar\frac{\part\langle p\mid\psi\rangle}{\part t}=\langle p\mid (\frac{\hat p^2}{2m}+V(\hat x))\mid\psi\rangle\\ =\langle p\mid V(\hat x)\mid \psi\rangle+\frac1{2m}\langle p\mid\hat p^2\mid \psi\rangle\\ =V(i\hbar\frac{\part }{\part p})\phi(p)+\frac1{2m}p^2\phi(p)\\ =(\frac{p^2}{2m}+V(i\hbar\frac{\part}{\part p}))\phi(p) \]

我们还可以考虑一个更加具体的例子——自由粒子（满足 \(V(x)=0\)）。

可以写出它的 momentum representation \(i\hbar\frac{\part\phi(p)}{\part t}=\frac{p^2}{2m}\phi(p)\)，解得 \(\phi(p,t)=e^{-\frac{ip^2t}{2m\hbar}}\phi(p,0)\)。

使用 Fourier 变换能得到：

\[\psi(x,t)=\frac1{\sqrt{2\pi \hbar}}\int \phi(p,t)e^{\frac{ipx}{\hbar}}\mathrm dp=\frac1{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\phi(p,0)e^{\frac{ip}{\hbar}(x-\frac {pt}{2m})}\mathrm dp \]

这被称为波包扩散（wave packet spreading dispersion）。

在薛定谔绘景中，我们用一个酉矩阵刻画 closed system 的演化，即 \(|\psi(t)\rangle=\hat U(t)|\psi(0)\rangle\)，同时认为算子是不变的，即 \(A_S=A\)。

而与薛定谔绘景相比，海森堡绘景认为 state 是不变的，operator 是变化的。具体来说，我们从薛定谔公式出发：

\[i\hbar\frac{\part|\psi(t)\rangle}{\part t}=H|\psi(t)\rangle=H(\hat U(t)|\psi(0)\rangle)=(H\hat U(t))|\psi(0)\rangle\\ i\hbar\frac{\part|\psi(t)\rangle}{\part t}=i\hbar\frac{\part \hat U(t)}{\part t}|\psi(0)\rangle \]

由于对于所有 \(|\psi(0)\rangle\) 都对，联立得到 \(i\hbar\frac{\part \hat U}{\part t}=H\hat U\)，两边取共轭转置我们有 \(-i\hbar\frac{\part \hat U^\dagger}{\part t}=\hat U^\dagger H\)。

令 \(A_H(t)=\hat U^\dagger(t)A\hat U(t)\)（根据薛定谔绘景的假设，\(\frac{\part A}{\part t}=0\)），那么：

\[i\hbar\frac{\mathrm dA_H}{\mathrm dt}=i\hbar(\frac{\mathrm dU^\dagger}{\mathrm dt}AU+U^\dagger A\frac{\mathrm dU}{\mathrm dt})=-U^\dagger HAU+U^\dagger AHU\\ =-HU^\dagger AU+U^\dagger AUH=A_H(t)H-HA_H(t)=[A_H,H] \]

（有一步用了 \([U,H]=0\)，这里是 assume \(H\) 不含时，毕竟可以切分成无限小的段。）

在海森堡绘景下，我们再定义 \(|\psi\rangle_H\equiv U^\dagger(t)|\psi(t)\rangle_S\)，那么 \(|\psi\rangle_H=U^\dagger(t)|\psi(t)\rangle_S=U^\dagger(t)U(t)|\psi(0)\rangle_S=|\psi(0)\rangle\)。

[定理] (Heisenburg equation) \(i\hbar\frac{\mathrm dA_H}{\mathrm dt}=[A_H,H]\)。

重新考虑上面介绍的 free particle 的例子，即 \(H=\frac{p^2}{2m}\)。

代入海森堡方程得到 \(i\hbar\frac{\part \hat x}{\mathrm dt}=[\hat x,H]=i\hbar\frac{\hat p}m\)，以及 \(i\hbar\frac{\part p}{\part t}=[\hat p,H]=0\)。

解出来可以得到 \(\hat p(t)=\hat p(0),\hat x(t)=\hat x(0)+\frac{\hat p(0)}mt\)。

Section 2.6 Simple harmonic oscillator

[定义] (simple harmonic oscillator) 满足 \(H=\frac12m\omega^2 \hat x^2+\frac{\hat p^2}{2m}\) 的系统。

为了刻画这个系统，我们考虑对哈密顿量做一个类似“因式分解”的操作：

令 \(\hat a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\hat x+i\sqrt{\frac1{2m\hbar\omega}}\hat p,\hat a^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\hat x-i\sqrt{\frac1{2m\hbar\omega}}\hat p\)，我们也称这两个算子为 annihilation operator / creation operator。

注意这里 \(\hat x,\hat p\) 不对易，所以我们只能用 \(H=\frac12(a^\dagger a+aa^\dagger)\hbar \omega\) 来表示。不过注意到 \([a,a^\dagger]=1\)，又可以写作 \(H=(\frac12+a^\dagger a)\hbar\omega\)，我们再记 \(\hat n=\hat a^\dagger\hat a\)，其名为 number operator（或者 Fock operator），它是 Hermitian 的，可以验算 \([\hat n,\hat a^\dagger]=\hat a^\dagger,[\hat n,.\hat a]=-\hat a\)。

接下来我们考虑刻画系统的本征值，不妨假设 $\hat n $ 有本征态 \(|n\rangle\) 满足 \(\hat n|n\rangle=n|n\rangle\)，那么可以发现：

\[\hat n(\hat a^\dagger|n\rangle)=\hat a^\dagger\hat n|n\rangle+\hat a^\dagger|n\rangle=a^\dagger(n+1)|n\rangle=(n+1)(\hat a^\dagger|n\rangle)\\ \hat n(\hat a|n\rangle)=\hat a\hat n|n\rangle-\hat a|n\rangle=a(n-1)|n\rangle=(n-1)(\hat a|n\rangle) \]

注意 \(||\langle\hat a^\dagger\mid n\rangle||^2=\langle n\mid\hat a\hat a^\dagger\mid n\rangle=\langle n\mid(\hat n+1)\mid n\rangle=(n+1)\langle n\mid n\rangle=n+1\)，因此我们定义 \(|n+1\rangle=\frac1{\sqrt{n+1}}\hat a^\dagger|n\rangle\)，就可以据此类推出所有自然数的本征态。（为什么没有负数呢？我们 check \(0\) 往下走就不能归一化了，所以本征值应当为所有自然数。）类似地我们也有 \(|n-1\rangle=\frac1{\sqrt n}\hat a|n\rangle\)。

于是我们也可以写出 \(|n\rangle=\frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle\)。

那么我们平时处理的物理现象是什么样的呢？比如一束光都可以看做无限个光子，我们应用一个 annihilation operator / creation operator，这个 state 理应不会改变，我们记这样的 state 为 coherent state，即 \(a\) 的本征态。

按照定义容易解出 coherent state 为 \(|\alpha\rangle=e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{i\geqslant 0}\frac{\alpha^i}{\sqrt{i!}}|i\rangle\)，这是一个 Poisson 分布。

Section 2.7 Quantum dynamics of the qubit system

Qubit 系统的哈密顿量能写作 \(H=\hbar(\alpha I+\frac{\omega}2\vec n\cdot\vec\sigma)\)，其中 \(\vec n\) 模长为 1，且假设 \(\alpha,\omega\) 是 t-independent 的。

该系统的演化能如此表示：\(U(t)=e^{-\frac{iHt}\hbar}=e^{-i\alpha t}e^{-i\frac{\omega t}2\vec n\cdot\vec \sigma}\)，其中 \(e^{-i\alpha t}\) 是全局相位可以忽略，经过简要推导我们能写出 \(U(t)=e^{-i\frac{\omega t}2\vec n\cdot\vec \sigma}=I\cos\frac{\omega t}2-i\vec n\cdot\vec\sigma\sin\frac{\omega t}2\)。

推导：

\[e^{i\alpha\vec n\cdot\vec\sigma}=\sum_k\frac{(i\alpha\vec n\cdot \vec\sigma)^k}{k!} =\sum_{2\mid k}\frac{(i\alpha)^k}{k!}(\hat\sigma_{\vec n})^k+\sum_{2\not\mid k}\frac{(i\alpha)^k}{k!}(\hat\sigma_{\vec n})^k\\ =\sum_{2\mid k}\frac{(-1)^{\frac k2}\alpha^k}{k!}I+\sum_{2\not\mid k}\frac{(i\alpha)^k}{k!}\hat\sigma_{\vec n} =I\sum_m\frac{(-1)^m\alpha^{2m}}{(2m)!}+i\hat \sigma_{\vec n}\sum_{m}\frac{(-1)^{m+1}\alpha^{2m-1}}{(2m-1)!}\\ =I\cos\alpha+i\vec n\cdot\vec \sigma\sin\alpha \]

这里再举两个例子：

• Example 1: Let \(\vec n\cdot\vec\sigma=\sigma_y\).

  Thus \(U(t)=\pmatrix{\cos\frac{\omega t}2&-\sin\frac{\omega t}2\\\sin\frac{\omega t}2&\cos\frac{\omega t}2}\), \(|\psi(t)\rangle=U(t)|0\rangle=\cos\frac{\omega t}2|0\rangle+\sin\frac{\omega t}2|1\rangle\).

  When \(\omega t=\frac\pi2\) (\(\frac{\pi}2\)-pulse), it leads to \(|0\rangle\to\frac1{\sqrt 2}(|0\rangle+|1\rangle),|1\rangle\to\frac1{\sqrt 2}(|1\rangle-|0\rangle)\) (Hadamard gate).

  When \(\omega t=\pi\) (\(\pi\)-pulse), it leads to \(|0\rangle\to|1\rangle,|1\rangle\to-|0\rangle\).

  When \(\omega t=2\pi\) (\(2\pi\)-pulse), itleads to \(|0\rangle\to-|0\rangle,|1\rangle\to-|1\rangle\).

• Example 2: Let \(\vec n\cdot\vec \sigma=\sigma_z\).

  Thus \(U(t)=\pmatrix{\cos\frac{\omega t}2-i\sin\frac{\omega t}2&0\\0&\cos\frac{\omega t}2-i\sin\frac{\omega t}2}=\pmatrix{e^{-i\frac{\omega t}2}&0\\0&e^{i\frac{\omega t}2}}\).

  This is a relative phase shift, \(|0\rangle\to|0\rangle e^{-i\frac{\omega t}2},|1\rangle\to|1\rangle e^{i\frac{\omega t}2}\).

Ramsey method：TBD。

\[|0\rangle&\overset{\frac{\pi}{2}-pulse(\sigma_y-basis)}\longrightarrow \frac1{\sqrt 2}(|0\rangle+|1\rangle)\\ &\overset{free\ evolution\ for\ a\ time\ T(\sigma_z-basis)}\longrightarrow \frac1{\sqrt 2}(|0\rangle e^{- i\frac{\omega T}{2}}+|1\rangle e^{i\frac{\omega T}2})\\ &\overset{\frac{\pi}{2}-pulse(\sigma_y-basis)}\longrightarrow \frac1{2}((|0\rangle+|1\rangle)e^{-i\frac{\omega T}2}+(|1\rangle-|0\rangle)e^{i\frac{\omega T}2})=|1\rangle\cos\frac{\omega T}2-i|0\rangle\sin\frac{\omega T}2\\ &\overset{measure\ the\ population\ in\ |1\rangle}\longrightarrow P_1=\cos^2\frac{\omega T}2 \]

Section 2.8 Open quantum systems

对于多粒子系统，其 Hilbert space 可以写作张量积的形式 \(\mathcal H_1\otimes\mathcal H_2\otimes\cdots\otimes\mathcal H_n\)，我们将 state 直积起来就可以对应 \(|\psi\rangle=|\psi_1\rangle\otimes|\psi_2\rangle\otimes\cdots\otimes|\psi_n\rangle\), 其中 \(|\psi_i\rangle=c_{0,i}|0\rangle+c_{1,i}|1\rangle\)，自由度为 \(2n\)。

我们用 density operator 来描述 open system 中“态”的概念，具体来说我们如此定义：

[定义] (density operator) 我们定义一个 Hermitian operator \(\rho\) 是 density operator 当且仅当 \(\mathrm{tr}(\rho)=1\)，且 \(\rho\geqslant 0\)（也就是特征值非负）。

用一个矩阵来描述 state 的确比较微妙，但是这是实践得出的优秀方法！

任意 density operator 都可以写作 \(\rho=\frac12(I+\vec n\cdot\vec \sigma)=\frac12\pmatrix{1+n_z&n_x-in_y\\n_x+in_y&1-n_z}\)。

[定义] (ensemble representation) 对于 \(\rho=\sum_i p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|\)，其中 \(\sum p_i=1\)，我们称 \(\{p_i,|\psi_i\rangle\}\) 是 \(\rho\) 的一组 ensemble decomposition。

如何判断两个 ensemble representation 等价？\(\sum p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|=\sum q_j|\phi_j\rangle\langle\phi_j|\) 当且仅当存在 unitary matrix \(U\) 使得：

\[\sqrt{p_i}|\psi_i\rangle=\sum_j U_{ij}\sqrt{q_j}|\phi_j\rangle \]

证明 TBD。

我们先给出迹（trace）的一些性质：①\(\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\). ②\(\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}A+\mathrm{tr}B\). ③\(\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(CAB)\). ④\(\mathrm{tr}(|\psi\rangle\langle\psi|)=\langle\psi\mid\psi\rangle\). ⑤\(\mathrm{tr}(A|\psi\rangle\langle\psi|)=\langle\psi\mid A\mid\psi\rangle\)。

如果有一组 basis \(\{|\mu_i\rangle\}\)，我们还可以得到 \(\mathrm{tr}(A)=\sum_i\langle\mu_i\mid A\mid\mu_i\rangle\)。

Density operator 还有一个性质是 \(\mathrm{tr}(\rho^2)\leqslant 1\)，且取等当且仅当 \(\rho\) 是纯态。

证明：

根据定义有 \(\sum_i\lambda_i=1,\lambda_i\geqslant 0\)，我们可以知道 \(\lambda_i\in[0,1]\)。

于是 \(\mathrm{tr}(\rho^2)=\mathrm{tr}(\sum_i\lambda_i^2|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|)=\sum_i\lambda_i^2\leqslant\sum\lambda_i=1\)。等号在 \(\lambda_i\) 取 \(0,1\) 时取到，即纯态。

对于开系统，我们可能想要从大系统的状态知道其一个子系统的状态，这时我们需要使用偏迹（partial trace），即 \(\rho_A=\mathrm{tr}_B(\rho_{AB})\)。

[定义] (partial trace) \(\mathrm{tr}_B(\rho_{AB})=\sum_i(I_A\otimes \langle i|_B)\rho_{AB}(I_A\otimes |i\rangle_B)\)。

可以比较一下形状，\(A\) 侧是三个 \(d_A\times d_A\) 的矩阵，\(B\) 侧是三个形状为 \(1\times d_B\)、\(d_B\times d_B\)、\(d_B\times 1\) 的矩阵，因此最后得到的就是一个 \(d_A\times d_A\) 的矩阵。

我们可以手算一下 \(\mathrm{tr}_B(\frac{|00\rangle+|11\rangle}2\frac{\langle00|+\langle11|}{2})\)：

\[\mathrm{tr}_B(\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt 2}\frac{\langle00|+\langle11|}{\sqrt 2})=\mathrm{tr}_B(\frac12(|00\rangle\langle00|+|00\rangle\langle11|+|11\rangle\langle00|+|11\rangle\langle11|))\\ =\frac12((I\otimes \langle0|)|00\rangle\langle00|(|0\rangle\otimes I)+(I\otimes \langle1|)|11\rangle\langle11|(|1\rangle\otimes I))=\frac12(|0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|)=\frac12I \]

为什么说这是“偏迹”呢？我们可以验证，两个系统的 \(\mathrm{tr}=\mathrm{tr}_1\mathrm{tr}_2\)。

[定义] (von-Neumann entropy) \(S(\rho)=-\mathrm{tr}(\rho\log\rho)=-\sum_i\lambda_i\log\lambda_i\)，其中 \(\lambda_i\) 是 \(\rho\) 的本征值。

简单计算得出 \(S(|0\rangle\langle0|)=0,S(\frac12(|0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|))=1\)，我们可以感受到 von-Neumann entropy 隐约与“纠缠”有关，具体会在后面提到。

von-Neumann entropy 有一些有用的性质：

• \(S(U\rho U^\dagger)=S(\rho)\)。

• \(S(|\psi\rangle\langle\psi|)=0\)。

• \(S(\rho_{AB})\leqslant S(\rho_A)+S(\rho_B)\)。

  证明大概是考虑 \(D(\rho\mid\mid\sigma)=\mathrm{tr}(\rho\log\rho-\rho\log\sigma)\geqslant 0\)。

  代入 \(\rho=\rho_{AB},\sigma=\rho_A\otimes\rho_B\)，这也给出了取等的条件。

• \(S(\sum\lambda_i\rho_i)\geqslant \sum\lambda_i S(\rho_i)\) for \(\lambda_i\in[0,1],\sum\lambda_i=1\)。

  证明可以考虑 \(\rho_{AB}=\sum_i\lambda_i\rho_{iA}\otimes(|i\rangle\langle i|)_B\)。

• \(S(\rho_{ABC})+S(\rho_B)\leqslant S(\rho_{AB})+S(\rho_{Bc})\)。

  证明略去。

• \(S(\rho_{AB})\geqslant S(\rho_A)-S(\rho_B)\)。

  证明好像有点难，要使用 purification，TBD。

[定理] (Schmidt decomposition) 对于双粒子系统的纯态 \(|\psi\rangle_{AB}\)，总存在正交归一基 \(|i\rangle_A,|\mu_i\rangle_B\) 以及非负归一系数 \(p_i\) 使得 \(|\psi\rangle_{AB}=\sum_i\sqrt{p_i}|i\rangle_A|\mu_i\rangle_B\)。

为什么没有相位？因为其可以被吸收到正交归一基中。

证明：（AI 生成）

假设 \(A\) 系统的维数为 \(d_A\)，\(B\) 系统的维数为 \(d_B\)。我们在 \(\mathcal{H}_A\) 和 \(\mathcal{H}_B\) 中分别取任意一组正交归一基 \(\{|j\rangle_A\}\) 和 \(\{|k\rangle_B\}\)。那么任意纯态 \(|\psi\rangle_{AB}\) 都可以展开为 \(|\psi\rangle_{AB} = \sum_{j=1}^{d_A} \sum_{k=1}^{d_B} C_{jk} |j\rangle_A \otimes |k\rangle_B\)。

其中 \(C_{jk}\) 是复数系数。我们可以把 \(C\) 看作一个 \(d_A \times d_B\) 的复数矩阵。

根据奇异值分解（SVD），任意复矩阵 \(C\) 都可以分解为 \(C = U D V^\dagger\)，其中 \(U\) 是 \(d_A \times d_A\) 的酉矩阵，\(V\) 是 \(d_B \times d_B\) 的酉矩阵，\(D\) 是对角线元素非负的对角矩阵（对角元即奇异值 \(\lambda_i \geqslant 0\)）。
写成分量形式就是：\(C_{jk} = \sum_i U_{ji} \lambda_i (V^\dagger)_{ik} = \sum_i U_{ji} \lambda_i V_{ki}^*\)。将其代回原式，交换求和次序：

\[|\psi\rangle_{AB} = \sum_i \lambda_i \left( \sum_j U_{ji} |j\rangle_A \right) \otimes \left( \sum_k V_{ki}^* |k\rangle_B \right) \]

我们定义新的向量：\(|i\rangle_A = \sum_j U_{ji} |j\rangle_A\)，\(|\mu_i\rangle_B = \sum_k V_{ki}^* |k\rangle_B\)。

因为 \(U\) 和 \(V\) 是酉矩阵（酉变换保持正交归一性），所以 \(\{|i\rangle_A\}\) 和 \(\{|\mu_i\rangle_B\}\) 构成了新的正交归一基！再令 \(\sqrt{p_i} = \lambda_i\)，因为状态归一化 \(\langle\psi|\psi\rangle=1\)，所以 $\sum_i p_i = 1$1。

经过简单计算可以发现，纯态的 \(\rho_A=\sum_ip_i|i\rangle_A\langle i|,\rho_B=\sum_ip_i|\mu_i\rangle_B\langle\mu_i|\)，意味着这两个密度矩阵有相同的本征值 \(\{p_i\}\)。

除此之外，借助 Schmidt decomposition，我们可以做到一个很神奇的操作——purification。对于一个可能处于混态的小系统，我们可以引入一个辅助系统，将这两个系统合并在一起变成一个纯态！

这样，如果我们手上有一个混态，我们可以默认它是某个纯态的 partial trace 的结果。

这也侧面反映了“概率”的来源，概率实际上来自于信息的损失。我们无法测量所有的信息，因此状态对于我们是有概率的。

Section 2.9 Evolution in open systems

对于 open system 的演化过程，我们有三种刻画方式 superoperator / operator sum / environment representation，下文会（感性地）说明其定义与等价性。

[定义] (superoperators) A map from a (density) operator to another operator. We represent superopeartor by \(\hat\$\).

Properties of superoperators:

• Linear: \(\hat\$(\lambda_1\rho_1+\lambda_2\rho_2)=\lambda_1\hat\$(\rho_1)+\lambda_2\hat\$(\rho_2)\).

• Trace-preserving / norm-preserving: If \(\mathrm{tr}(\rho_{in})=1\), then \(\mathrm{tr}(\hat\$(\rho_{in}))=1\).

• Hermitian-preserving: \(\hat\$(\rho_{in})\) is still Hermitian.

• Positive: If \(\rho_{in}\) is positive-definite, then \(\hat\$(\rho_{in})\) is also positive definite.

• Completely-positive (stronger than positive-definite): \(\hat\$\otimes\hat I_B\) is positive definite.

这里有一个例子来说明 completely-positive 是比 positive-definite 更强的，TBD。

[定理] (Kraus theorem) 任意 superoperator 都可以写作“operator-sum representation”，即 \(\hat\$_A(\rho_A)=\sum_\mu M_\mu\rho_AM_\mu^\dagger\) where \(\sum_MM_\mu^\dagger M_\mu=I_A\)。

证明：

Here we give an intuitive proof.

Consider a system \(A\), with the outside environment \(B\).

Assume \(AB\) is closed and unitary, also assume \(A,B\) are intially in product state.（注意这个 no initial entanglement 的假设是关键的）

WLOG assume \(B\) is in pure state, otherwise we can do purification.

The input state can be written as \(\rho_A\otimes\rho_B=\rho_A\otimes|E\rangle_B\langle E|\), then the output state is \(\rho_{AB}'=U_{AB}(\rho_A|E\rangle_B\langle E|)U_{AB}^\dagger\), and we can see:

\[\rho_A'=\mathrm{tr}_B(\rho_{AB}')=\sum_\mu{}_B\langle\mu|\rho_{AB}'|\mu\rangle_B\\ =\sum_\mu{}_B\langle\mu| U_{AB}\rho_A\otimes|E\rangle_B\langle E| U_{AB}^\dagger|\mu\rangle_B\\ =\sum_\mu M_\mu\rho_AM_\mu^\dagger \]

where we write \(M_\mu={}_B\langle\mu| U_{ab}|E\rangle_B\).

And we can check:

\[\sum_\mu M_\mu^\dagger M_\mu=\sum_\mu{}_B\langle E| U_{AB}^\dagger|\mu\rangle_B\langle \mu| U_{AB}|E\rangle_B\\ =\sum_\mu{}_B\langle E| U_{AB}^\dagger U_{AB}|E\rangle_B=\sum_\mu{}_B\langle E| E\rangle_B=I \]

与前面类似，我们有 \(\sum_\mu K_\mu\rho K_\mu^\dagger=\sum_\mu M_\mu\rho M_\mu^\dagger\) 当且仅当 \(K_\mu=\sum_\nu U_{\mu\nu}M_\nu\)，这里 \(U\) 是一个酉矩阵。

[定理] (master equation) \(\dot\rho=-i[H,\rho]+\sum_\mu(L_\mu\rho L_\mu^\dagger-\frac12L_\mu^\dagger L_\mu\rho-\frac12\rho L_\mu^\dagger L_\mu)\).

证明：TBD。

[定理] (inverse Krause theorem) Any evolution \(\hat\$\) on density operator \(\rho_A\) with \(\hat\$(\rho_A)=\sum_\mu M_\mu\rho_AM_\mu^\dagger\) can be written as a reduced unitary evolution in an extended space \(H_A\otimes H_B\) with \(\mathrm{tr}_B(U_{AB}(\rho_A\otimes |E\rangle_B\langle E|)U_{AB}^\dagger)=\sum_\mu M_\mu\rho_AM_\mu^\dagger\).

证明：TBD。

接下来我们以几个 quantum channel 举例：

TBD。

Section 2.10 Measurement in open systems

[定义] (POVM) A set of \(\{F_i\}\) with these properties is a POVM (positive-operator-valued-measure):

• Hermitian: \(F_{iA}^\dagger=\mathrm{tr}_B(\rho_B^+E_{iAB}^+)=F_{iA}\).

• Positive: For any state \(|\phi\rangle_A\), let \(\rho_A=|\phi\rangle_A\langle\phi|\), then

  \[{}_A\langle\phi| F_{iA}|\phi\rangle_A=\mathrm{tr}_{AB}(F_{iA}|\phi\rangle_A\langle\phi|)=\mathrm{tr}_{AB}(E_{iAB}\rho_B\otimes|\phi\rangle_A\langle\phi|)\geqslant 0\\ \Rightarrow F_{iA}\geqslant 0 \]

• Complete: \(\sum_i F_{iA}=\mathrm{tr}_B(\sum_i E_{iAB}\rho_B)=\mathrm{tr}(I_{AB}\rho_B)=I_A\).

[定理] (Neumark theorem) Any POVM\(\{F_i\}\) in \(H_A\) can be implemented by a von-Neumann projection measurement \(\{E_{iAB}\}\) in an extended Hilbert space \(H_A\otimes H_B\) with \(H_{AB}(E_{iAB}\rho_A\otimes \rho_B)=\mathrm{tr}(\rho_A F_{iA})=p_i\).

证明：TBD。

TBD。

Section 3.1 Entanglement

[定义] (LOCC) Local operation / classical communication: TBD.

Entanglement is a resource which can not be produced by LOCC operations.

[定义] (separable / entangled) 我们定义一个态 separable 当且仅当其能被写作 \(\rho_{AB}=\sum p_i\rho_{iA}\otimes \rho_{iB}\)（这也是两个人能从虚无中通过 LOCC 创造的态），否则称其 entangled，这里 \(p_i\) 是一组概率分布。

[定理] (Peres Horodecki criteria) ①For any separable states \(\rho_{AB}\), the partial transpose \(\rho_{AB}^{T_A}\) is positive. ②The positivity of \(\rho_{AB}^{T_A}\) is also a necessary and sufficient condition for separability of \(\rho_{AB}\) for \(2\times 3\)-dim and \(2\times 2\)-dim systems. (Not true for \(3\times 3\).)

（我们称这样的 state 为 positive partial transpose state，即 PPT state）。

证明：

① (Pares) If \(\rho_{AB}=\sum_ip_i\rho_{iA}\otimes \rho_{iB}\), then:

\[\rho_{AB}^{T_A}=\sum_ip_i\rho_{iA}^{T}\otimes\rho_{iB}=\sum_i p_i\rho_{iA}^*\otimes\rho_{iB} \]

Since \(\rho_{iA}^*\) has the same eigenvalue as \(\rho_{iA}\), which means \(\rho_{iA}^*\) and \(\rho_{iB}\) are both positive. Therefore \(\rho_{AB}^{T_A}\) should also be positive.

② (Horodecki) 没讲。

这里我们以 Werner state \(\rho_{AB}=p|\phi^+\rangle_{AB}\langle\phi^+|+\frac{1-p}4I_{AB}\) 来举例：

\[\rho_{AB}^{T_A}=\frac p2\pmatrix{1&&&\\&0&1&\\&1&0&\\&&&1}+\frac{1-p}4\pmatrix{1&&&\\&1&&\\&&1&\\&&&1}\\ =\pmatrix{\frac{1+p}4&&&\\&\frac{1-p}4&\frac p2&\\&\frac p2&\frac{1-p}4&\\&&&\frac{1+p}4} \]

因此 \(\rho_{AB}^{T_A}\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{1-p}4\geqslant\frac p2\Leftrightarrow p\leqslant\frac 13\)，那么其 entangled 当且仅当 \(p>\frac13\)。

Section 3.2 Entanglement measure

对于纯态，我们一般用 von-Neumann entropy 来刻画 entanglement（Section 2.7 已经提及）。

对于混态，我们会尝试将 von-Neumann entropy 扩展到 entanglement measure \(E\)，具体来说：

• 其在 LOCC 下不能增加。
• \(E(U_A\otimes U_B\rho U_A^\dagger\otimes U_B^\dagger)=E(\rho)\)（因为这是一个可逆的变换）。
• 若 \(\rho_{AB}\) separable，那么 \(E(\rho_{AB})=0\)。
• 若 \(\rho_{AB}\) 是纯态，\(E(\rho_{AB})\) 应该 reduce to von-Neumann entropy。

课上介绍了几种具体的 entanglement measure：

[定义] (entanglement of formation / entanglement of distillation) 在 \(n\to\infty\) 时：①\(E_F(|\psi\rangle_{AB})\equiv\frac{k_{min}}n\)，其中 \(k_{min}\) 是最少的贝尔态 \(|\phi^+\rangle\) 数量使得我们可以通过 LOCC 造出 \(|\psi\rangle_{AB}\)。②\(E_D(|\psi\rangle_{AB})\equiv\frac{k_{max}}n\)，其中 \(k_{max}\) 是最少的贝尔态 \(|\phi^+\rangle_{AB}\) 数量使得我们能从 \(|\psi\rangle_{AB}\) 中用 LOCC 造出这么多贝尔态。

我们有 \(E_D\leqslant E_F\)。

[定理] 对于双粒子系统纯态 \(|\psi\rangle_{AB}\)，我们有 \(E_F(|\psi\rangle_{AB})=E_D(|\psi\rangle_{AB})=S(\rho_A)\)。

证明：TBD。

[定义] (entanglement cost) \(E_C(\rho_{AB})\equiv\min\sum_ip_iE(|\psi_i\rangle_{AB})\)，这个 min 是在所有 ensemble decomposition 下的。

还有一些常用的 entanglement measure：

• Wootter's formula:

  \(C(\rho_{AB})=\max\{0,\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3-\lambda_4\}\)，这里 \(\lambda_i\) 是 \(R=\sqrt{\sqrt{\rho_{AB}}\tilde{\rho_{AB}}\sqrt{\rho_{AB}}}\) 的特征值，其中 \(\tilde{\rho_{AB}}=(Y_A\otimes Y_B)\rho_{AB}^*(Y_A\otimes Y_B)\)（\(Y\equiv \sigma_y\)）。

  \(E_C(\rho_{AB})=h(\frac{1+\sqrt{1-C^2(\rho_{AB})}}2)\)，其中 \(h(x)\equiv-x\log_2x-(1-x)\log_2(1-x)\)，这个是关于 \(C\) 的单调函数。

• Distance:

  Let \(E_d(\rho_{AB})=\min_{\sigma\in S}D(\rho_{AB},\sigma)\), where \(D\) should be non-increasing under LOCC.

  Possible choices for \(D\):

  • \(D(\rho,\sigma)=\frac12(S(\rho\mid\mid\sigma)+S(\sigma\mid\mid\rho))\), where \(S(\rho\mid\mid\sigma)=\mathrm{tr}(\rho(\log_2\rho-\log_2\sigma))\) is the relative entropy. (In general \(S(\rho\mid\mid\sigma)\ne S(\sigma\mid\mid\rho)\).)

    Property: \(S(\hat\$(\rho)\mid\mid\hat\$(\sigma))\leqslant S(\rho\mid\mid\sigma)\) (\(\hat\$\) is any superoperator, contains but not only LOCC.)

  • \(D(\rho,\sigma)=1-\sqrt{F(\rho,\sigma)}\) where fidelity \(F(\rho,\sigma)\equiv(\mathrm{tr}\sqrt{\sqrt \rho\sigma\sqrt\rho})^2\).

• Negativity:

  Let \(LN(\rho_{AB})\equiv\log_2(2 N(\rho_{AB})+1)\), where \(N(\rho_{AB})\equiv\sum_i\frac{|\lambda_i|-\lambda_i}2\)，这里 \(\lambda_i\) 是 \(\rho_{AB}^{T_B}\) 的特征值。

参考资料

• 段路明老师的《量子计算机科学》课程讲解，以及其讲义。
• Quantum Computation and Quantum Information抄书笔记(3)
• 如何理解谐振子的生成算符与湮灭算符？ - 纯肉ADC的回答