2023-3-3 #41 轰鸣的钟声渐近

——COP《同归世界线》

236 ABC288H A Nameless Counting Problem

被薄杀了！！

首先很容易通过数位 dp 计算出长度为 \(k\) 异或为 \(X\) 的序列个数，这一部分是 \(O(n^3\log V)\) 的。

一个递增序列可以通过删除若干相同 pair 映射到唯一的集合，于是我们若对于所有 \(k\) 计算出元素不同的，长度为 \(k\) 异或为 \(X\) 的序列个数，则可以通过塞入若干不影响异或和的相同 pair 来生成出所有递增序列，这无非是一个插板法的事情。

计算上面那个东西有两种处理方法，第一种可能更机械，但我觉得考虑起来也比较麻烦。

①元素互不相同指向了集合划分容斥，我们将出现次数为奇数的数与出现次数为偶数的数分开考虑，依次加入若干个“等价团”就可以 dp 出 \(i\) 个等价团，大小和为 \(j\)，大小全为奇数/偶数的容斥系数和。注意到我们并不在乎偶数大小的团的个数，只需将贡献乘上团个数阶乘的倒数来保证无序。

因此合并奇数偶数只用枚举奇数团的个数与大小和，以及偶数团的大小和，那么我们就可以 \(O(n^3)\) 地计算上面那个问题了。

②官方题解做法：直接进行普通的容斥，假设 \(n\) 个数字中有 \(i\) 个出现次数为奇数的数字，其对应了 \(j\) 个下标，那么转移就是一个组合数选出这些下标，乘上将 \(j\) 个数分成 \(i\) 个大小为奇数的集合的方案数，将 \(n-j\) 个数分成若干个大小为偶数的集合的方案数，乘上长度为 \(i\)，互不相同，异或和为 \(X\) 的序列个数，转移容易做到 \(O(n^3)\)。

237 ABC289H Trio

破题水（

根据经验，我们只需计算 \(i\) 步从初始态走到一起的方案数构成的多项式以及 \(i\) 步从在一起的状态走到一起的方案数多项式即可。

第一个问题显然强于第二个，我们不妨令 \(u,v\) 为第一二个人的距离与第二三个人的距离，于是方案数为：

\[\sum_i{T\choose i}{T\choose i+u}{T\choose i+v} \]

一次卷积即可，复杂度 \(O(n\log n)\)。

238 ABC290H Bow Meow Optimization

竟然不会做，伤心😔。

如果确定哪些位置是猫哪些位置是狗，那么填数一定是按照系数倒序填出一个单峰形。

通过调整可以证明猫和狗的谷底中间至多隔一个猫/狗（奇偶性的一些限制），更进一步地可以证明猫和狗放在一起看，左右两侧均单调。

于是直接 dp 记录放了多少猫狗，左边几只猫几只狗就可以 \(O(n^3)\) 了。

239 CTT2019 D1T1 递增树列

比较简单。

lca 序列一定是某个点到根的一条路径。我们令 \(f_{x,i}\) 为 \(x\) 子树内选出一个长度为 \(i\) 且满足条件的序列数量，转移可以枚举一个儿子表示剩余的子树与这个子树剩余大小。

那么问题无非是：每个球有个颜色，排列使得相邻颜色不同的方案数。经典地容斥一下，很容易写出 \(O(poly(n))\) 的 dp。

240 CTT2019 D1T2 异世界的文章分割者

有点难。

考虑求一个字符串的答案，一个线性的做法是用 SAM 求出每个结点出现的第一次最后一次出现然后做个前缀和。

二分答案，我们从前往后贪心扩展最长的右端点。二分会使得区间长度总和不对，使用倍增来找到第一个不合法的 \(2^k\)，再二分一下就好了，这样复杂度是 \(O(n\log n\log V)\)。

241 CTT2019 D1T3 时间旅行

qiuly 真是太恐怖了！！

先考虑一个环，每个集合只有一种选择怎么做，结论是将 \(a\) 排序后，答案为 \(\min\{a_{i+\frac{n+1}{2}}-a_i\}\)，构造方法是 \(a_m,a_1,a_{m+1},a_2,\cdots,a_n\)（令 \(m=\frac{n+1}2\)）

可以证明，答案结构一定是 \(k-1\) 个单点带一个大环。

我们只需说明，可以将两个大小分别为 \(n,m>1\) 的环 \(a,b\) 调整为一个大环与一个单点。

我们默认每个环的排列方式都按照上面的结论来，在第一个环我们抽出 \(a_{\frac{n+1}2}\) 作为单点，并提取剩余的链；在第二个环我们删除一条边并将这条链接入缺口。

可以说明选择 \((b_1,b_{\frac{m+1}2})\) 或 \((b_m,b_{\frac{m+1}2})\) 足以调整出解。假设我们提取出的链区间为 \([l,r]\)，删除的边两端权值是 \([p,q]\)，若两个区间不交或者包含很容易得到构造，否则通过讨论 \(a_{\frac{n+1}2},b_{\frac{m+1}2}\) 可以得出构造。

二分答案 \(w\) 并将可以取出一对距离超过 \(w\) 的集合连边，我们接下来说明，找到一个大小为 \(2k+3\) 的奇环等价于找到 \(k\) 对匹配与一个 \(A-B-C\) 状的匹配。

充分性可以考虑将匹配选择的数字写下来并排序，考察任意区间 \([i,i+k+1]\)，这个区间内若不包含大小为 \(2\) 的匹配，那么其一定包含 \(A,B,C\) 中至少两个，因此这个区间的数字极差不小于 \(w\)，通过上面的构造可以构造出环。

必要性显然。

我们枚举 \(B\) 是哪个集合的哪个数，将 \(B\) 拆成两个集合 \(B_1,B_2\) 分别匹配 \(A,C\)，那么就是动态加入删除 \(O(1)\) 个点的一般图最大匹配，带花树处理即可。（其实我不是很会带花树！！）

242 CF1789F Serval and Brain Power

做了好久，太伤心了。

\(k=2\) 很容易计算，无非枚举中断点计算前后缀的 lcs，那么 \(k=3\) 也可以类似处理，复杂度 \(O(n^5)\)。

注意到 \(k=4\) 被 \(k=2\) 包含，而 \(k\geqslant 5\) 时某一次 repeat 的下标极差不会超过 \(15\)，我们暴力枚举一个长度为 \(16\) 的区间以及其所有子集，\(O(n)\) 在原序列中贪心一下就好了。