2023-1-11 #26 我仍珍惜 你予我 这一段随时光起舞的情节

——Kevinz《Say a Good Bye》

今天 dls 来雅礼了，于是一行人围着 yali 转了几圈，去火宫殿吃了一顿！

挺开心的。

XX Open Cup, Grand Prix of Tokyo。

142 A Cookies

以前考过的联考题，不会做啊。

我们考虑增量地加入 \(a_{1,\cdots,n}\)，我们发现一个饼干如果被剩下，那么以后都会被剩下。

于是我们可以维护每个小孩拿到什么饼干，下面我们直接陈述维护方式：

对于每个类型相同的极长连续段，用一个小根/大根堆维护这一段小孩的饼干，我们加入一个饼干无非从前到后，每个堆 push 当前饼干，并将当前饼干替换成这个堆的堆顶。

我们将相邻的小根/大根堆两两配对，结论是，每对满足某个 \(\max\) 小于另一个的 \(\min\) 的堆，我们交换这两个堆的顺序对答案无影响。

于是，我们时刻查看是否有这样的事件，若有，我们就 swap 两个堆，并将相邻相同类型的堆合并。

下面说明，上述算法复杂度为 \(O(n\log m+m\log^2 m)\)。

我们令势能为：对于每个堆对 \((a,b)\)，\(a\) 中在 \(b\) 值域区间内、\(b\) 中在 \(a\) 值域区间内的数字个数，每次操作一定会令每个堆对的势能减小。（容易得知每个时刻的势能均为 \(O(m)\) 级别）

假设现在有 \(L\) 对堆，我们加入 \(\frac{2m}{L}\) 个数字，至多 \(\frac{m}{2}\) 对堆能抗住这样的势能减少。于是，一定有 \(\frac{m}{2}\) 对堆满足：其发生事件，或者其邻居发生事件，则一定有不少于 \(\frac m6\) 对堆发生事件。

复杂度为 \(T(n)=\frac{2m}{n}\cdot n+T(\frac 56 n)\)。

143 B Evacuation

询问的区间可以根据最近的边界分成两个部分，不妨只看左半边。

考虑一个点 \(x\) 在区间 \([l,r]\) 内的代价怎么算，列出式子：

\[\sum_{i=0}^{x-l}\max(0,S-\sum_{|x-j|\leqslant i}a_j) \]

通过控制 \(i\) 的范围可以把 \(\max\) 消掉，只需维护 \(\sum a_i\) 以及 \(\sum ia_i\)，很容易 \(O(1)\) 计算。

现在考虑原问题。

144 C Sum Modulo

谔谔题，一开始的思路全错了。

很容易列出 \(f(n)=\sum_{i=1}^n a_i f((n-i)\bmod m)\)，高斯消元复杂度过高。

我们尝试用 \(f(1)\cdots f(n-1)\)，以及一些常数 表示出一个 \(f(i)\)：

这个问题事实上等价于常系数齐次线性递推，我们可以使用多项式取模在 \(O(n\log^2 m)\) 内解决这一问题。（不用 FFT 可以 \(O(n^2\log m)\)）

只需表示出 \(f(m-n+1)\cdots f(m-1)\)，就可以列出 \(n-1\) 个关于 \(f(1)\cdots f(n)\) 的方程，然后做 \(O(n^3)\) 的高斯消元就好了。

复杂度 \(O(n^3+n^2\log^2 m)\)。

D Xor Sum：

145 J Median Replace Hard

146 K Game and Queries

147 L Yosupo's Algorithm

之前发过这题。

148 CFgym102201J Jealous Teachers

149 P4350 [CERC2015]Export Estimate

150 loj#6681. yww 与树上的回文串

151 P6019 [Ynoi2010] Brodal queue

152 P7417 [USACO21FEB] Minimizing Edges P / P7418 [USACO21FEB] Counting Graphs P