2023-1-7 #24 放逐向无尽的清醒梦 该如何停止向下坠落

——霾《微观戏剧》

remake.

昨天没事干，尝试了一口气 vp 3 场 div2（edu75,76,77），感觉没啥意思。

要争取恢复日更啊。。。

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129 AGC045D Lamps and Buttons

TEE 45w 了诶！

比较憨憨的题。

由于我们并不知道排列是啥，所以除了每个环都要有 \(\leqslant A\) 的下标外，我们还要保证在踩到自环前结束。

如果 \([1,A]\) 中没有自环，我们就是在做这样一个问题：两类数，每个二类数所在环都必须包含一个一类数的方案数。我们只需通过插入环/新建环的方式来生成排列，先插入一类数，二类数插入的时候禁止新建环就好了。

如果有自环，我们枚举自环第一次出现的位置 \(p\)，枚举 \(p\) 前面自环数量来容斥“第一次出现”这个条件，问题无非在上面的问题基础上，最后插入一些无限制的数，方案数仍然很好算。

复杂度 \(O(n+A^2)\)。

130 loj#6741. 因子统计

一个结论：对于大于 \(\sqrt n\) 的素数 \(p\)，其在 \({n\choose m}\) 的素因子分解中至多出现一次。

证明：\({n\choose m}=\frac{n^{\underline m}}{m!}\)，连续 \(m\) 个数至少有 \(\lfloor\frac mp\rfloor\) 个 \(p\)，至多有 \(\lceil\frac mp\rceil\) 个 \(p\)，差不超过 \(1\)。

于是，小素数在每次询问中枚举，暴力计算贡献。大素数可以统一处理，通过前缀和计算出有多少大素数在分解中出现，贡献就是二的次幂。

复杂度 \(O(\frac{(n+q)\sqrt n}{\log n})\)。

131 Ptz2022 Winter Day2 KAIST Contest + KOI TST 2021 C AND PLUS OR

比较奇怪的题。

为啥都会做！很奇怪诶。

结论：只需枚举所有的 \(i=S\cup\{a\},j=S\cup\{b\}\) 就已足够。

不妨假设 \(i=S\cup U,j=S\cup V\)，则：\(A_{S\cup V}-A_{S\cup U\cup V}<A_S-A_{S\cup U}\)，令 \(F(T)=A_{S\cup T}-A_{S\cup U\cup T}\)，则只需找到 \(F(V)<F(\varnothing)\)。

任取一个合法的 \(V\)，称 \(V\) 前 \(i\) 个元素组成的集合为 \(W_i\)，则必然存在一个 \(F(W_i)<F(W_{i-1})\)。（否则与假设冲突）

于是 \(A_{S\cup W_i}-A_{S\cup W_i\cup U}<A(S\cup W_{i-1})-A_{S\cup W_{i-1}\cup U}\)，令 \(S\leftarrow S\cup W_{i-1}\)，即可使 \(|V|=1\)。

\(|U|\) 同理，暴力枚举复杂度 \(O(2^nn^2)\)。

132 Ptz2017 Winter Xiaoxu Guo Contest 5 A Even Three is Odd

我也不知道在哪里找这场比赛！

题意是给定 \(w_{1\cdots n}\)，求：

\[\sum_{x\in[n]^n}\prod_{i=1}^{n-2}w_{\max(w_i,w_{i+1},w_{i+2})} \]

考虑只记录最大值的位置，\(f_{i,j,k}\) 表示正在计算 \(i,i+1,i+2\) 的贡献，最大值位置为 \(i+j\)，值为 \(k\) 的权值和。

转移比较简单：要么 \(j\) 减一，\(k\) 不变；要么 \(j\) 初始为 \(0\)，\(k\) 减小；要么\(j\) 变为 \(2\)，\(k\) 不减。

前缀和优化，复杂度 \(O(n^2)\)。

133 Ptz2020 Summer Day4 Xi Lin Contest 6 J Ternary String Counting

容易列出 \(O(n^3)\) 的 dp，其可以看作每次按照下述方式转移后，仅保留 \(j\in[j_0,j_1],k\in[k_0,k_1]\) 的所有状态：

\[f_{i+1,j,k}\leftarrow f_{i,j,k}\\f_{i+1,i,k}\leftarrow f_{i,j,k}\\f_{i+1,j,i}\leftarrow f_{i,j,k} \]

我们尝试去除 dp 数组的第一维，将 dp 数组放在一个二维平面上，那么转移一次变成了：继承上一次的 dp 值，对某一行/某一列的 dp 值求和，暴力修改 \(O(n)\) 个位置，保留一个子矩形的 dp 值。

前三步都是平凡的，而可以观察到一个位置被清空了后就不再会有值了，所以每行记录一下删到哪就好了，这样每个位置只会删一次。

复杂度 \(O(n^2)\)。

134 loj#3077. 「2019 集训队互测 Day 4」绝目编诗

首先有一个 \(O(n^4)\) 的暴力：每次从一个点出发，找一条到自己的回路，那么 \(n-2\) 种环长，每种会被搜到 \(n\) 次，要走 \(n\) 步，判定 \(O(n)\)。

结论：若边数大于 \(n+2\sqrt n\)，一定有解。

我们随机删除 \(\sqrt n\) 条边，则期望环个数为：

\[\sum_{i=3}^n(1-\frac{1}{\sqrt n})^i<\frac{1}{1-(1-\frac 1{\sqrt n})}=\sqrt n \]

因此一定有一种方案使得删掉 \(\sqrt n\) 条边后环数不超过 \(\sqrt n\)，那么边数一定不超过 \(n+2\sqrt n\)。

此时，我们任取一棵生成树，将非树边连接的点的虚树取出，可以得到一张 \(O(\sqrt n)\) 个点，\(O(\sqrt n)\) 条边的带权无向图，我们执行上述 \(O(n^4)\) 做法。

复杂度可以分析到 \(O(n^2\sqrt n)\)，为啥比其他题解多一个根号啊！（估计是哪里分析松了，之后再来看看）