2022-12-22 #18 向永恒开战 追寻我—— 一如此刻 十指紧握

——校长《遗忘山丘》

这首歌应该是我初二的时候接触到的，听完后尝试把奇爱人生系列推给同学，失败了（

当时好像和与我们高两届的学长一起打模拟赛，有一次打北大附中的题，看到了一道题叫“彼岸蔷薇”。

向永恒开战 追寻我——
一如此刻 十指紧握
将太阳射落 献给我——
请记得我即神佛

得知了这道题是 EI 供的后非常开心，这么厉害的大佬居然也听校长的歌！！

考完还跟旁边的学长叽里呱啦了一下，虽然他好像没鸟我😔。

现在竟然可以和以前仰慕已久的 EI 吹水，令人感慨。

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90 ARC138F KD Tree

比较简单？可是为啥我不会捏。

dp，四维状态记下当前处理的矩形。

为了不算重，不妨对于一个操作序列强行分配一个字典序，把一次操作看成一个字符，操作序列就是操作树的先序遍历结果，字符大小关系为 \(x(1)\leqslant y(1)\leqslant x(2)\leqslant\cdots\leqslant x(k)\leqslant y(k)\)。（\(x(p)\) 表示使用集合内第 \(p\) 大的 \(x\) 坐标划分）

枚举目前是哪个操作，枚举一个字典序较小的操作嗯容斥就好了。

记忆化搜索即可，复杂度 \(O(n^6)\)。

91 uoj#704. 马超战潼关

\(O(2^nn^2)\) 的算法很容易得到（枚举左边每个点到源的边割不割，右边相邻不割的点大于一的点只能割与汇的边去，其余任意且互不影响）但是有一种模型更便于思考：

找出图的一组最大匹配，那么每条匹配边 \((x,y)\) 一定满足 \((s,x),(x,y),(y,t)\) 恰好割一条。

考虑每条非匹配边 \((x,y)\)。

• 若 \(x\) 是匹配点且 \(y\) 是匹配点：\(x\) 割源或 \(y\) 割汇；
• 否则若 \(x\) 是匹配点：\(x\) 割源；
• 否则 \(y\) 是匹配点，\(y\) 割汇。

将一对匹配边看成一个点，点权 \(0,1,2\) 分别表示割三种边，将非匹配边的第一种情况让 \(x\) 对应匹配向 \(y\) 对应匹配连一条有向边。

发现这张新图中，一个环必须全 \(0\) 或者全 \(2\)，于是我们可以缩点，得到一张 DAG。

得到拓扑序，考虑 meet in middle，枚举前一半每个结点填 \(0,1,2\)，后一半就会限制每个点是否填 \(2\)，预处理一下，高维前缀和可以做到 \(O(3^{\frac n2}n^2)\)。

事实上只需要枚举每个点是否填 \(0\)，对后面的限制不变，那么问题变为：图中填 \(0\) 位置集合固定，其他点填数方案数。（后一半无非是做一个对称的问题，然后高维前缀和）

内部的方案数只需找出非 \(0\) 位置的导出子图，没有入度的点可以填 \(1\)，而且互不影响，答案就是二的幂次。

复杂度为 \(O(2^{\frac n2}n^2)\)。

92 uoj#705. 黄忠庆功宴

一个公差为 \(k\) 的等差数列，其一定能写成 \(k^{-1}\bmod p\) 个值域连续段。（走 \(k^{-1}\bmod p\) 步就会在值域上向前 \(1\) 步）

一个结论，对于任意 \(k\)，都可以写出一对 \((x,y)\) 满足 \(k\equiv \frac xy\pmod p,x\leqslant \sqrt p,y\leqslant \sqrt p\)。

证明可以通过鸽巢原理，考察生成的 \(\{x-yk\}\) 集合，一旦有相同的则 \(k\equiv\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}\pmod p\)。（如果 \(y_1=y_2\)，那么此时一定有 \(x_1=x_2\)）

那么我们可以对于每个 \(x\) 令 \(b_i=a_{ix\bmod p}\)，在这个数组上求 \(y\) 个连续段的和就好了。

复杂度 \(O(n\sqrt n)\)。

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hzr 好强。