2022-12-19 #16 我们执意追寻 会否燃为灰烬

——霾《妄想Reality》

「少女戴上面具继续逃亡」
「饥饿与瘟疫如影随形」
「恐惧却不能把握她的命运」
「死亡即是归宿」
「她已经看清」

今天有点摆，现在才发博客呜呜。

话说都是哪些老哥在看我博客呀，能不能评论一下，让我看看！！

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80 Ptz2022 Day2 ZJU Contest 1 E Ternary Search

联考考过，没补，我是摆怪。

先考虑一个经典问题，把序列变成递增序列，交换次数即逆序对数。

从小到大选择数字，并将数字摆在序列左、右侧，那么无论中间顺序如何，放左、右侧的顺序是固定的。（因此，加入过程没有后效性，我们可以直接贪心）

现在考虑如何 pushback 一个数，这个数一定摆在右侧。它会对之前加入了、比它大且摆在右侧的数有影响。

那么我们每个数都会在一开始加入右侧，在某个时间段切换到左侧，这个时间很好算，令有 \(x\) 个在它前面，比他小的数，那么它后面第 \(x\) 个比它小的数加入后它就会切换到左侧，线段树二分即可。

复杂度 \(O(n\log n)\)。

81 Ptz2022 Day2 ZJU Contest 1 L Maximum Range

比较简单的题。

显然一个边双内的才能同时出现，我们选出这两条边，跑个网络流就好了。

一个小技巧：图中的边建边的时候把边的正向、反向边流量上界都设为 \(1\)。

顺带复习一个小知识：神秘图论技巧。

找一条 \((u,v)\)，经过 \(e\) 的路径。

以 \(u\) 为根生成一棵 dfs 树，显然可以让 \(e\) 成为一条树边。若树上路径包括 \(e\) 显然平凡，否则我们要找到一个简单环与路径有交，并让简单环包括 \(e\)。

dfs 树上的简单环一定可以通过若干条的返祖边对应简单环异或而成，我们不妨考察 \(e\) 对应子树（不包含根的那个，令根为 \(x\)）的最浅返祖边 \((p,q)\)，然后找到 \(q\) 向 \(p\) 走一步到的结点 \(r\)，继续跳 \(r\) 子树最浅返祖边直到 \(r\) 是 \(v\) 的严格祖先。（从 \(q\) 走到 \(r\) 是为了让环有交）

归纳可证这是一个简单环，也容易发现异或后一定是简单路径。

82 Ptz2022 Day3 Qingyu, flower and their friends’ Contest K Kitten’s Computer

其实我也不是很明白，下面纯属夹杂个人理解的官方 sol 翻译。

我们先设计出一个加法器。

考察 \(G=a\and b,P=a\oplus b\)，并使用 \(O(1)\) 次并行操作（如果要保留成一个 bit 就要 \(3\) 次，但仅关心最后一位可能也等价？这样只要 \(2\) 次）对 \(G,P\) 进行拆位。

考察 \(Q=(a+b)\oplus P\)，事实上它就是 \(G\) 右移后与 \(P\) 得出的进位，而这个东西是可以列出式子：

\[Q_i=\or_{j<i}G_j\prod_{j<k<i}P_k \]

使用倍增，令 \(b\) 从 \(0\) 枚举到 \(5\)，每次令（那么 \(P_i\) 就代表 \([i-2^b+1,i]\) 的 \(P\) 的按位与，\(G\) 可以类似理解）

\[G_i'\leftarrow G_i\or(G_{i-2^b}P_i)\\P_i'\leftarrow P_i\and P_{i-2^b} \]

这个东西就可以并行了，次数大概是 \(12\) 次。

然后是乘法器。

算了，明天再做。

83 CF1774G Segment Covering

明天写。

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loj#6465. 二平方和定理：鸽

今天看了一下 DAG 剖分，发现 DAG 剖分能做不少题，还特别无脑！

uoj752 uoj697 uoj577 CF1098F。