P8334 [ZJOI2022] 深搜 解题报告

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题意

定义 \(f(x,y)\) 合法当且仅当 \(y\) 在 \(x\) 子树中，其值为对 \(x\) 的子树进行 dfs，往下走随机选一个没有访问过的点，遇到 \(y\) 时经过的点点权最小值的期望。

求 \(\sum_{x,y}f(x,y)\)。

\(1\leqslant n\leqslant 4\times 10^5\)。

分析

可能有点口胡，假了赶紧来喷我（

离散化，枚举一个 \(i\)，令权值大于等于 \(i\) 的点为黑点，那么我们就是要支持将一个点由黑染白，以及维护简单路径只经过黑点的点对，dfs 时不遇到白点的概率之和。

考虑将子树内有白点的点叫灰点，那么可以发现我们不能 dfs 入没有 \(y\) 的灰点子树。转移方程大概长这样：（令 \(s(x)\) 为 \(x\) 的灰儿子数量）

\[f_x=\begin{cases}0&[x\ \text{is}\ \text{white}]\\\sum_{y\in son(x)}\begin{cases}\frac{f_y}{s_x}&[y\ \text{is}\ \text{grey}]\\\frac{size_y}{s_x+1}&\text{otherwise}\end{cases}\end{cases} \]

这样我们就得到了一个 \(O(n^2)\) 的解法。

直接将转移方程刻画成矩阵，每次加入白点的时候暴力更新非灰的祖先（更新单点的转移系数以及一条链的 \(f\)），用一个全局平衡二叉树就是 \(O(n\log n)\) 了。

代码

暂时鸽一手。